结论前置：开车给路边停着的车刮了然后跑了，这种行为在大多数情况下构成肇事逃逸，将依法承担相应的法律责任。不过，具体是否构成逃逸，还需结合实际情况来判断。
一、肇事逃逸的定义及构成要件
肇事逃逸，是指在发生交通事故后，当事人为逃避法律追究而逃离现场的行为。其构成要件主要包括：
- 存在交通事故：即车辆在道路上因过错或意外造成的人身伤亡或财产损失事件。例如，您的车刮擦了路边停放的车辆，这就构成了一个交通事故。
- 行为人知晓事故发生：这包括直接感知到车辆碰撞、人员受伤等情况，或者通过他人告知等方式得知。如果您在刮擦后意识到了这一事故，就满足了这一要件。
- 行为人具有逃避法律追究的故意：即明知自己的行为可能会被认定为交通肇事等相关法律责任，仍有意逃离现场。在知情的情况下选择离开，就可能被认定为具有逃避法律追究的故意。
二、具体情境下的分析
知情且逃离：
- 如果您在刮擦后意识到了事故的发生，并且为了逃避法律责任而选择逃离现场，那么这种行为就构成了肇事逃逸。
- 在这种情况下，您将面临民事赔偿、行政处罚（如罚款、拘留）、驾驶证扣分及吊销，甚至可能承担刑事责任，具体取决于事故的严重程度和后果。
不知情或无法感知：
- 如果您有充分证据证明自己确实不知道车辆发生了刮擦（如因车辆隔音效果极好、碰撞非常轻微且未留下明显痕迹等），且在离开现场时未发现任何异常，那么一般不认定为肇事逃逸。
- 但这种情况较为罕见，且需要充分的证据来支持您的说法。
事后返回并承担责任：
- 如果您在刮擦后虽然未立即停车处理，但随后主动返回现场并配合处理事故、积极承担责任，那么您的行为可能不构成肇事逃逸。
- 关键在于您是否有逃避法律责任的故意行为，以及是否及时采取了补救措施。
三、法律后果与应对措施
法律后果：
- 一旦被认定为肇事逃逸，您将承担事故造成对方车辆损失的全部赔偿责任。
- 您还可能面临行政处罚，如罚款、拘留，以及驾驶证扣分及吊销。
- 如果事故严重，构成交通肇事罪，您还将依法承担刑事责任。
应对措施：
- 在发生交通事故后，应立即停车查看情况，并尽量保护现场。
- 尝试寻找被刮擦车辆的车主，以便与其协商处理后续事宜。
- 如果无法找到车主或双方无法协商一致，应及时报警并通知保险公司，按照相关程序进行处理。
四、特殊情况下的考量
- 紧急避险：如果您因突发的紧急情况（如车上有急需救治的病人）而不得不离开现场，并在事后及时向有关部门说明情况，那么可能不被认定为肇事逃逸。但这种情况需要充分的证据来支持。
- 证据收集：无论是否发生肇事逃逸，当事人都应及时报警并由交警部门进行调查和认定。同时，尽可能收集现场证据（如监控录像、目击者证言等）以便后续维权。
总结与建议：开车给路边停着的车刮了然后跑了，在大多数情况下构成肇事逃逸。为了避免不必要的法律纠纷和损失，我建议您在发生交通事故后勇于承担责任，并按照正确的程序进行处理。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。