结论：公交车起动时成人摔倒并撞伤别人，公交车司机及公交公司是否承担责任，需根据具体情况分析，主要包括司机是否存在过错、公交公司是否尽到安全保障义务等因素。以下从不同角度进行详细分析：
一、司机责任角度
过错责任原则：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
- 在公交车起动过程中，如果司机未尽到合理的注意义务，如未观察车内乘客情况、突然加速等，导致乘客摔倒并撞伤他人，司机可能因过错而承担责任。
具体情形分析：
- 如果司机在起动前已通过语音提示或观察确保乘客坐稳扶好，且起动过程平稳，无突然加速或急刹车等行为，那么司机可能无过错，不承担责任。
- 如果司机在起动时未给予乘客足够的准备时间，或起动过程过于剧烈，导致乘客摔倒并撞伤他人，那么司机可能因过错而需承担相应责任。
二、公交公司责任角度
安全保障义务：
- 公交公司作为公共交通服务的提供者，对乘客负有安全保障义务。这包括提供安全的乘车环境、确保车辆性能良好、对司机进行安全培训等。
- 如果公交公司未尽到上述安全保障义务，导致乘客在乘车过程中受伤或撞伤他人，公交公司可能需承担相应责任。
具体情形分析：
- 如果公交公司定期对车辆进行维护检查，确保车辆性能良好；对司机进行安全培训，提高司机的安全意识和驾驶技能；并在车内设置安全提示标识等，那么公交公司可能已尽到安全保障义务，不承担责任。
- 如果公交公司未对车辆进行定期维护检查，导致车辆存在安全隐患；或未对司机进行足够的安全培训，导致司机在驾驶过程中存在过错；或未在车内设置必要的安全提示标识等，那么公交公司可能因未尽到安全保障义务而需承担相应责任。
三、乘客自身责任角度
自甘风险原则：
- 在某些情况下，乘客可能因自身原因（如未扶稳坐好、在车辆行驶过程中随意走动等）导致摔倒并撞伤他人。此时，乘客可能需承担一定责任。
具体情形分析：
- 如果乘客在公交车起动前已坐稳扶好，且在整个乘车过程中保持谨慎态度，那么乘客可能无过错，不承担责任。
- 如果乘客在公交车起动时未扶稳坐好，或在车辆行驶过程中随意走动、打闹等，导致摔倒并撞伤他人，那么乘客可能因自身过错而需承担相应责任。
建议：
- 对于受伤者而言，应及时报警并保留相关证据（如现场照片、视频、证人证言等），以便后续维权。
- 对于公交车司机和公交公司而言，应加强安全管理和培训，提高安全意识和驾驶技能，确保乘客安全。
- 在处理此类纠纷时，建议各方保持冷静和理性，通过协商或法律途径解决争议。
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