关于您提出的“父亲犯罪儿子是否可以考编”的问题，这主要涉及到考编过程中的政审环节。以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，考编过程中的政审是一个重要的环节，它主要是对考生的政治背景、道德品质、遵纪守法等方面进行审查。政审的目的是确保考生具备担任公职的基本素质和条件，维护公职队伍的纯洁性和稳定性。
针对您提出的问题，父亲犯罪并不一定会直接导致儿子无法考编。政审主要关注的是考生本人的表现，而非其家庭成员的犯罪记录。然而，在实际操作中，政审环节可能会对考生的家庭背景进行一定的了解，但这主要是为了更全面地评估考生的政治素质和道德品质，而非简单地因为家庭成员的犯罪记录就否定考生的资格。
具体来说，政审过程中可能会涉及以下几个方面：
考生本人的政治表现：包括是否坚持党的领导、是否拥护社会主义制度、是否遵纪守法等。
考生本人的道德品质：包括是否诚实守信、是否具有良好的社会公德和职业道德等。
考生家庭背景的了解：虽然家庭成员的犯罪记录不是政审的直接决定因素，但政审过程中可能会对考生的家庭背景进行一定的了解，以评估考生的成长环境和可能受到的影响。
其他相关因素：如考生是否有不良嗜好、是否受过刑事处罚等。
关键点在于，即使父亲有犯罪记录，只要儿子本人表现良好，符合考编的基本条件，且政审过程中没有发现其他不符合要求的情况，儿子仍然有可能通过政审，成功考编。
以您提供的参考信息中的案例为例，湖南临武的李某因未履行法院判决而被列为“老赖”，但他女儿考编政审时，李某及时履行了还款义务，避免了女儿因父亲的问题而受到影响。这说明，即使家庭成员存在不良记录，只要及时采取措施进行纠正，且考生本人表现良好，仍然有可能通过政审。
总结来说，父亲犯罪并不一定会导致儿子无法考编。关键在于儿子本人的表现和政审过程中的具体情况。如果您或您的家人面临类似情况，建议积极了解政审的具体要求和流程，做好充分的准备，以应对可能的审查。同时，也建议考生本人保持良好的道德品质和遵纪守法的行为，为考编成功打下坚实的基础。