结论：自己开车跟着救护车闯红灯，在一般情况下是违法的，但在特定紧急情况下，如果驾驶员能够提供充分证据证明其行为的合理性和必要性，可以向交警部门提出申诉，请求撤销或减轻处罚。

详细分析：

1. 交通法规的基本原则：

   • 根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，车辆在行驶过程中必须严格遵守交通信号灯，红灯停、绿灯行是基本的交通规则。这一规定是为了维护道路交通秩序，保障行车安全。因此，在正常情况下，闯红灯是一种明确的交通违法行为，无论出于何种原因，只要机动车在红灯亮起时通过路口，即构成违法。

2. 救护车的特殊通行权：

   • 救护车在执行紧急任务时，确实享有特殊的通行权利，包括不受信号灯限制。但这一特权仅限于执行紧急任务的救护车本身，并不适用于跟随救护车的其他社会车辆。因此，即使您的家人在救护车上，您也不能因此获得闯红灯的特权。

3. 紧急情况下的特殊处理：

   • 在某些极端紧急的情况下，如为了紧急护送生命垂危的家人，且存在充分合理的紧急避险需求，驾驶员可能会选择跟随救护车闯红灯。然而，这并不意味着该行为就此合法化。如果因此被交警部门记录为闯红灯，驾驶员将面临相应的处罚，包括扣分和罚款。
   • 但根据《道路交通安全违法行为处理程序规定》，因救助危难或紧急避险而造成的违法行为，经核实后可以予以消除。因此，如果您确实处于紧急情况，且事后能提供充分证据证明，可以向交警部门申请撤销违法记录。

4. 申诉流程与证据要求：

   • 如果您因跟随救护车闯红灯而被处罚，且认为存在特殊情况，可以向交警部门提出申诉。
   • 申诉时，您需要提供能证明当时紧急情况的充分证据，如医院的诊断证明、病历资料、救护车出车记录、报警记录等。这些证据应能够证实您确实是出于救助家人的紧迫需要而不得已闯红灯。

5. 安全考虑与建议：

   • 闯红灯是一种高风险的行为，可能对其他道路使用者的安全构成威胁，并可能引发交通事故。因此，在遇到类似情况时，建议您保持冷静和理智，不要盲目跟随救护车闯红灯。
   • 如果确实需要紧急跟随救护车前往医院，应选择在安全的情况下绕行或等待下一个绿灯。同时，您也可以联系交警寻求帮助，或者乘坐救护车以确保安全。

总结与提醒：

• 严格遵守交通法规是每个驾驶员的责任和义务。在任何情况下，都不应违反交通信号指示。
• 如果您因特殊情况而不得不闯红灯，请务必确保安全，并尽可能收集证据以备不时之需。
• 有问题可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。