结论概述：农发行紫云自治县支行在开展网络安全宣传活动中，既享有宣传教育的权利，也承担着确保宣传内容合法合规、保护受众权益等义务。以下结合新闻背景，从权利与义务两个维度进行详细分析。
银行在宣传活动中的权利
信息传播权：
- 银行有权通过合法途径，如营业网点LED屏、短信、宣传手册等，向公众传播网络安全知识，提升公众的网络安全意识。这是银行作为社会成员，参与公共安全建设，履行社会责任的一种体现。
- 新闻背景对应：农发行紫云自治县支行通过营业网点LED屏滚动播放宣传标语，循环展播网络安全警示教育片，向客户发送提示短信，正是行使了信息传播权。
活动组织权：
- 银行有权自主策划和组织网络安全宣传活动，包括确定活动形式、内容、时间、地点等。这有助于银行根据目标受众的特点和需求，制定更具针对性的宣传策略。
- 新闻背景对应：该行深入乡镇集市，发放《网络安全知识手册》，现场讲解金融网络安全常识，体现了银行在活动组织上的自主性。
银行在宣传活动中的义务
内容合法合规义务：
- 银行在宣传过程中，必须确保所传播的信息内容合法合规，不得含有虚假、误导性信息，或侵犯他人合法权益的内容。这是银行作为金融机构，维护金融市场秩序和公众利益的基本要求。
- 法律条文对应：根据《中华人民共和国网络安全法》等相关法律法规，银行有义务确保宣传内容的真实性、准确性和合法性。
保护受众权益义务：
- 银行在宣传活动中，应尊重并保护受众的合法权益，如隐私权、知情权等。例如，在收集和使用受众信息时，应遵循合法、正当、必要的原则，并征得受众的同意。
- 新闻背景延伸：虽然新闻背景中未直接提及，但银行在发送提示短信等宣传方式时，应确保不泄露客户隐私，不滥用客户信息。
风险提示义务：
- 银行在宣传网络安全知识时，应特别针对可能存在的风险进行提示，如电信网络诈骗、虚假投资等，帮助受众提高风险防范意识。
- 新闻背景对应：农发行紫云自治县支行在宣传中重点针对老年群体，提醒警惕“虚假投资”“冒充客服”等骗局，正是履行了风险提示义务。
持续教育义务：
- 银行不仅应在特定时期（如网络安全宣传周）进行宣传，还应将网络安全教育纳入日常工作中，持续提升员工的网络安全意识和技能，以便更好地为客户提供服务。
- 新闻背景对应：该行组织员工专题学习《中华人民共和国网络安全法》，开展“网络安全知识竞赛”，体现了银行在持续教育方面的努力。
热点事件专业解读与启示
- 法律定性：农发行紫云自治县支行开展的网络安全宣传活动，属于合法的公共安全教育活动，旨在提升公众的网络安全意识和风险防范能力。
- 涉及法律条文：主要涉及《中华人民共和国网络安全法》等相关法律法规，这些法律法规为银行的宣传活动提供了法律保障和规范指导。
- 对公众的启示：公众应积极参与银行等机构组织的网络安全宣传活动，提升自身的网络安全意识和技能；同时，也应保持警惕，不轻信陌生信息，避免陷入网络诈骗等陷阱。
总结与建议：农发行紫云自治县支行在开展网络安全宣传活动中，既享有信息传播权、活动组织权等权利，也承担着内容合法合规、保护受众权益、风险提示和持续教育等义务。银行应继续创新宣传形式，提升活动质效，为构建法治、安全、和谐的网络环境贡献力量。同时，公众也应积极参与宣传活动，提升自身的网络安全意识和风险防范能力。如有任何法律疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。