董事会无权直接做出修改公司章程的决议，该权力专属于股东会或股东大会，且必须遵循严格的法定程序和表决要求。以下是对这一问题的详细分析：
一、修改公司章程的权力归属
股东会或股东大会的专属权力：
- 根据《中华人民共和国公司法》的相关规定，修改公司章程的决议只能由股东会或股东大会作出。这是为了确保公司根本性规则的变动能够充分反映多数股东的意志，保障股东对公司重大事项的最终决定权。
董事会的角色与限制：
- 董事会虽然在公司治理结构中扮演重要角色，负责公司的经营决策、执行股东会的决议等一般性事务决策和管理，但并不包括对公司章程的修改权。董事会可以提出修改公司章程的草案或议案，但无权直接做出修改决议。
二、修改公司章程的表决要求
有限责任公司的表决要求：
- 在有限责任公司中，修改公司章程需要获得至少持有三分之二以上表决权的股东的赞同方可生效。这一规定确保了修改公司章程的决议具有广泛的代表性和合法性。
股份有限公司的表决要求：
- 在股份有限公司中，修改公司章程则需要在出席股东大会的股东中获得至少三分之二以上表决权的支持方能落实。同样，这一规定也是为了保障修改决议的合法性和代表性。
三、修改公司章程的法定程序
董事会提出修改草案：
- 董事会可以提出修改公司章程的草案或议案，但这一行为仅限于提议和起草阶段，无权直接决定修改。
股东会或股东大会表决：
- 修改草案需提交给股东会或股东大会进行表决。只有经过法定比例的股东同意后，修改决议才能生效。
行政审批与公告（如适用）：
- 如果公司章程的修改涉及到需要审批的事项，如注册资本的变更等，还需要及时上报政府主管部门进行审查和批准。同时，如果修改内容涉及到需要公告的事项，公司还应依法进行公告。
登记备案：
- 修改后的公司章程需要向公司登记机关提交股东会决议以及新的章程修正案进行核准和登记。如果修改未涉及登记事项，也需送交公司登记机关存档备查。
四、违规后果
决议无效：
- 如果董事会擅自做出修改公司章程的决议，该决议在程序上存在瑕疵，不具备法律效力。股东或其他相关方可以依法申请撤销该决议。
法律责任：
- 董事会成员如果违反法律规定擅自修改公司章程，可能需要承担相应的法律责任，包括但不限于民事赔偿、行政处罚等。
总结与建议：
修改公司章程是一项严肃而谨慎的工作，必须严格按照法律规定的程序和权限进行。董事会无权直接做出修改公司章程的决议，这一权力专属于股东会或股东大会。因此，如果您作为公司董事或管理人员，在面临修改公司章程的需求时，请务必遵循法定程序，确保修改的合法性和有效性。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。