接到法院履行到期债务通知书后，原债务案件的法院通常会根据不同情况采取以下处理方式：

1. 若被通知人（第三人）在规定期限内提出异议
   根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民事诉讼法〉的解释》第五百零一条，若第三人对履行到期债务提出异议（如债务不存在、金额不符、已清偿等），法院不会对第三人强制执行，原债务案件的执行程序会继续针对原被执行人进行。此时，申请执行人若认为第三人异议不成立，需通过代位权诉讼等途径另行主张权利，原执行法院会中止对第三人的执行措施。

2. 若第三人未提出异议且未履行债务
   若第三人在指定期限内未提出异议，也未履行债务，法院会直接裁定对第三人强制执行，将第三人列为被执行人，并可采取查封、扣押、冻结等措施处置其财产。此时原债务案件的执行标的会扩展至第三人的财产，但原被执行人的债务责任并不因此免除（若第三人财产不足，仍可继续执行原被执行人财产）。

3. 若第三人主动履行债务
   若第三人按通知书要求履行了全部或部分债务，法院会将履行金额直接抵扣原被执行人的债务，并出具相关执行凭证。此时原债务案件的执行标的相应减少，若债务全部清偿，法院会裁定终结执行程序。

关键提醒：

• 第三人需在收到通知书后15日内提出异议，逾期未提且未履行的，法院可直接执行其财产。
  
• 异议需以书面形式提出，且需针对债务本身（如是否存在、金额等），若仅表示“无力偿还”等主观理由，法院可能不予采纳。
  
• 若第三人隐瞒财产或虚假异议，可能面临罚款、拘留等处罚，甚至构成拒不执行判决、裁定罪。

建议：
若您作为第三人收到此类通知书，建议先核对债务真实性及金额，若存在争议务必在期限内提出书面异议；若您是原申请执行人，可督促法院及时对第三人财产采取查控措施，但需注意第三人异议权对执行程序的影响。如有具体案件细节需要分析，可直接向我咨询。