结论前置：公司在开除员工时，必须严格遵循法律规定的条件和程序，确保有充足的事实依据。根据劳动者是否存在过错、是否因客观情况需辞退或经济性裁员等不同情形，公司可依法解除劳动合同。若违反法律规定，公司可能面临支付经济赔偿金等法律责任。以下是具体分析：

一、劳动者存在过错的情况（公司可即时解除劳动合同）

1. 试用期间不符合录用条件

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第一项。
   • 具体要求：公司需在招聘时明确录用条件，并在员工入职时告知。如员工在试用期结束时未满足这些条件，公司可解除劳动合同。例如，公司招聘程序员要求熟练掌握Python，但试用期内发现候选人仅具备基础技能且无法完成任务，公司可据此辞退。
   • 证据要求：需保留招聘广告、面试记录、试用期考核标准及结果等证据。

2. 严重违反规章制度

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第二项。
   • 具体要求：公司的规章制度必须合法、合理且经过公示。员工如连续旷工、泄露商业机密等严重违纪行为，公司可依此解除劳动合同。例如，员工多次迟到早退、旷工，或泄露公司机密文件，公司可据此辞退。
   • 证据要求：需提供员工知晓规章制度的证据及违纪事实证明，如签字确认的规章制度手册、考勤记录、监控视频等。

3. 严重失职或营私舞弊

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第三项。
   • 具体要求：员工因严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害时，公司可解除劳动合同。例如，财务人员因疏忽导致公司损失超50万元，或因收受回扣签订不利合同，公司可据此辞退。
   • 证据要求：需明确“重大损害”标准，并提供损失的相关证据，如财务报表、客户流失证明等。

4. 兼职影响工作

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第四项。
   • 具体要求：员工同时与其他单位建立劳动关系，严重影响本职工作或拒不改正时，公司可解除劳动合同。例如，全职员工未经允许在外兼职，导致工作效率大幅下降，公司可据此辞退。
   • 证据要求：需提供员工兼职及对本公司工作影响的证据。

5. 劳动合同无效

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第五项。
   • 具体要求：如员工以欺诈、胁迫手段使公司违背真实意思订立或变更劳动合同，公司可认定合同无效并解除劳动关系。例如，员工伪造学历证书或工作经历被查实，公司可据此辞退。
   • 证据要求：需提供员工欺诈行为的证据，如虚假证书的鉴定报告等。

6. 被追究刑事责任

   • 法律依据：《劳动合同法》第三十九条第六项。
   • 具体要求：员工被依法追究刑事责任时，公司可解除劳动合同。例如，员工因职务侵占罪被判刑，公司可据此辞退。
   • 证据要求：需提供法院的生效判决等相关法律文书作为依据。

二、非因劳动者过错的情况（公司需提前通知或支付代通知金）

1. 患病或非因工负伤

   • 法律依据：《劳动合同法》第四十条第一项。
   • 具体要求：员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或新安排的工作时，公司可解除劳动合同。例如，员工患重病休假6个月后仍无法胜任原岗位，且拒绝调岗，公司可据此辞退。
   • 证据要求：需提供医疗期证明、员工不能胜任工作的相关证明，并提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资。

2. 不能胜任工作

   • 法律依据：《劳动合同法》第四十条第二项。
   • 具体要求：员工不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任时，公司可解除劳动合同。例如，销售连续3个月未达业绩目标，经培训和调岗后仍未改善，公司可据此辞退。
   • 证据要求：需明确“不能胜任工作”的标准，提供绩效考核记录、培训记录等证据，并提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资。

3. 客观情况变化

   • 法律依据：《劳动合同法》第四十条第三项。
   • 具体要求：劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，导致合同无法履行，且双方未能就变更内容达成协议时，公司可解除劳动合同。例如，公司部门裁撤，员工拒绝接受跨城市调岗，公司可据此辞退。
   • 证据要求：需提供客观情况变化的证明及与员工协商的记录，并提前三十日以书面形式通知或额外支付一个月工资。

三、经济性裁员（需向劳动行政部门报告）

• 法律依据：《劳动合同法》第四十一条。
• 具体要求：
  1. 裁员规模：需裁减人员20人以上或占企业职工总数10%以上。
  2. 法定情形：如公司因疫情连续亏损2年，或业务转型需大规模调整架构。
  3. 优先留用规则：需优先保留长期合同员工、无固定期限合同员工及家庭困难员工。
• 程序要求：公司需提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，可以裁减人员。

四、开除员工的程序要求

• 事实依据：公司开除员工前必须具备充足的事实依据，如违纪事实、考核结果等。
• 合法程序：包括明确且合理的规章制度、充分的过错证据、通知工会（如有）并研究其意见、向员工出具解除劳动合同的书面通知等。

五、经济补偿与赔偿

1. 合法开除无需赔偿

   • 若公司依据合法事由开除员工，无需支付经济补偿或赔偿金，但应支付员工应得的工资。

2. 违法开除需赔偿

   • 若公司违法开除员工，员工可要求继续履行合同；若不要求继续履行或合同已无法履行，公司应按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。赔偿金计算按员工在本单位工作年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。

总结：公司在开除员工时必须谨慎行事，确保有充足的事实依据和符合法律规定的程序步骤，以避免不必要的法律风险和经济损失。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。