在有私生子的情况下立遗嘱，其实与无私生子的情况在法律程序上并无太大差异，关键在于确保遗嘱的合法性以及考虑到所有合法继承人的权益。以下是根据您提供的信息，结合实际情况，给出的详细解答：
一、立遗嘱的方式
根据《中华人民共和国继承法》（注：现为《中华人民共和国民法典》继承篇），立遗嘱的方式主要有以下几种：
自书遗嘱：由遗嘱人亲笔书写，签名，并注明年、月、日。这种方式最为常见，也最为简便。
代书遗嘱：如果遗嘱人不能自行书写，可以请人代书。代书遗嘱应当有两个以上见证人在场见证，由其中一人代书，并注明年、月、日，同时由代书人、其他见证人和遗嘱人共同签名。
录音遗嘱：以录音形式立的遗嘱，同样需要有两个以上见证人在场见证，以确保遗嘱的真实性。
口头遗嘱：在危急情况下，遗嘱人可以立口头遗嘱。但口头遗嘱同样需要有两个以上见证人在场见证，并且一旦危急情况解除，遗嘱人能够用书面或录音形式立遗嘱时，所立的口头遗嘱即失效。
公证遗嘱：如果遗嘱人希望遗嘱具有更高的法律效力，可以选择到公证机构办理公证遗嘱。
二、遗嘱生效的基本条件
无论选择哪种方式立遗嘱，都必须满足以下条件才能生效：
立遗嘱人必须具有立遗嘱能力：即遗嘱人必须是完全民事行为能力人。
遗嘱内容必须是立遗嘱人的真实意思表示：遗嘱内容不能受到欺诈、胁迫等外部因素的影响。
遗嘱处分的遗产只能是个人合法所有的财产：遗嘱人不能处分他人的财产或非法财产。
遗嘱中不得取消缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人的继承权：这是法律对弱势群体的一种保护。对于私生子，如果其没有独立生活能力，遗嘱中必须给其保留遗产继承份额。
三、私生子的继承权
私生子在法律上与婚生子女享有同等的继承权，属于第一顺序继承人。因此，在立遗嘱时，必须考虑到私生子的权益。如果私生子有独立生活能力，遗嘱中不是必须要保留其继承权，但出于家庭和睦和公平原则，建议遗嘱人在立遗嘱时还是应充分考虑所有子女的权益。
综上所述，立遗嘱是一个严肃而复杂的法律行为，需要遗嘱人充分了解自己的权益和义务，并遵循法律规定的程序和要求。在有私生子的情况下，更是需要谨慎处理，以确保遗嘱的合法性和有效性。