结论：孙子能否当兵，主要取决于其祖父（即提问中的“赌博被抓的爷爷”）的赌博行为是否构成犯罪并被追究刑事责任，以及这一记录是否对孙子的政审产生影响。一般情况下，单纯的赌博违法行为若未构成犯罪，通常不会影响孙子当兵；但若构成犯罪并被追究刑事责任，则可能对孙子的政审造成不利影响。
分析说明：
赌博行为的法律性质：
- 赌博行为可能涉及行政违法或刑事犯罪。如果仅仅是参与赌博，且情节较轻，通常会被视为行政违法行为，受到行政处罚，如罚款、拘留等。
- 如果赌博行为情节严重，如组织赌博、聚众赌博、以赌博为业等，则可能构成赌博罪，需要承担刑事责任。
对孙子当兵的影响：
- 行政违法记录：如果祖父的赌博行为仅构成行政违法，并未被追究刑事责任，那么这一记录通常不会对孙子的政审产生直接影响。孙子在符合其他当兵条件的情况下，仍然可以报名参军。
- 刑事犯罪记录：如果祖父的赌博行为构成犯罪并被追究刑事责任，那么这一记录可能会对孙子的政审产生不利影响。在政审过程中，相关部门会考察家庭成员的政治表现、道德品质以及是否有违法犯罪记录等。祖父的刑事犯罪记录可能会成为孙子政审不通过的一个因素。
政审的具体要求：
- 政审是参军前的重要环节，旨在考察应征者的政治素质、道德品质以及是否符合参军条件。政审的内容通常包括个人历史、家庭成员情况、社会关系等。
- 在政审过程中，相关部门会对应征者的家庭成员进行审查，以了解其家庭背景和社会关系。如果家庭成员中有违法犯罪记录，特别是刑事犯罪记录，那么应征者的政审可能会受到影响。
特殊场景：
- 如果孙子在政审过程中能够提供充分的证据证明自己与祖父的违法犯罪行为无关，且自己具备良好的政治素质和道德品质，那么也有可能通过政审。但这需要具体情况具体分析，且需要孙子提供充分的证据来支持自己的主张。
建议与行动：
- 如果祖父的赌博行为已经构成犯罪并被追究刑事责任，建议孙子在报名参军前提前了解政审的具体要求，并做好充分的准备。
- 孙子可以积极向相关部门说明自己的情况，提供充分的证据证明自己与祖父的违法犯罪行为无关，以争取通过政审。
- 如果孙子对政审结果有异议，可以依法提出申诉或复议。
法律背景：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，赌博罪是指以营利为目的，聚众赌博或者以赌博为业的行为。构成赌博罪的，需要承担刑事责任。
- 政审是参军前的重要环节，其具体要求和标准由相关部门制定并执行。在政审过程中，应征者需要如实提供个人信息和家庭成员情况，以便相关部门进行审查。