结论：律师委托后当事人私下协商，是否可以退费需视具体情况而定，主要取决于委托合同的约定、协商结果对律师工作的影响以及律师已投入的工作量等因素。

1. 委托合同约定

首先，要查看委托合同中是否有关于退费的具体条款。如果合同中明确规定了在特定情况下（如当事人私下协商解决纠纷）可以退费，或者规定了退费的具体条件和比例，那么应当按照合同约定执行。这是最直接且明确的依据。

2. 协商结果对律师工作的影响

• 律师未实质开展工作：如果律师在接受委托后，尚未实质开展工作（如未进行调查取证、未撰写法律文书、未参与协商或诉讼等），且当事人私下协商解决了纠纷，那么律师可能同意退还大部分或全部费用。因为律师尚未提供实质性的法律服务，退费相对合理。
• 律师已开展工作：如果律师已经投入了大量的时间和精力进行工作（如进行了调查取证、撰写了法律文书、参与了协商或诉讼等），即使当事人私下协商解决了纠纷，律师也可能要求保留部分或全部费用。这是因为律师已经提供了法律服务，且这些服务对于纠纷的解决可能起到了关键作用。

3. 律师已投入的工作量

律师已投入的工作量也是决定是否退费的重要因素。如果律师已经完成了大量的工作，如撰写了详细的法律意见书、参与了多次协商或诉讼等，那么即使当事人私下协商解决了纠纷，律师也可能要求按照工作量来收取费用。在这种情况下，退费的可能性相对较小，或者退费的比例会较低。

4. 双方协商

除了上述因素外，双方还可以进行协商来确定是否退费以及退费的比例。如果双方能够达成一致意见，那么可以按照协商结果来执行。这通常是最灵活且最能体现双方意愿的方式。

建议：

• 在签订委托合同时，建议明确约定退费的条件和比例，以避免后续纠纷。
• 如果当事人私下协商解决了纠纷，建议及时与律师沟通，说明情况并协商退费事宜。
• 如果律师不同意退费或退费比例存在争议，可以考虑通过调解、仲裁或诉讼等方式来解决纠纷。

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