结论：私家车追尾出租车时，出租车因事故导致的停运损失（即通常所说的“误工费”）是否需要赔偿，主要取决于事故责任划分以及保险条款的约定。在大多数情况下，如果私家车被认定为全责或主要责任方，那么其或其保险公司需要赔偿出租车的停运损失。
一、事故责任划分的影响
私家车全责或主要责任：
- 在这种情况下，私家车车主或其保险公司需要承担出租车因事故导致的停运损失。这是因为出租车作为营运车辆，其停运期间无法从事经营活动，从而产生了经济损失。
- 赔偿金额通常根据出租车的实际营运收入和停运时间来确定。出租车司机需要提供车辆行驶证、营运证明、实际营运损失证明（如运营流水、收入报表等）以及车辆维修记录等证据来支持其索赔请求。
出租车也有责任：
- 如果事故中出租车也存在一定责任，那么停运损失的赔偿将按照责任比例进行分担。例如，如果私家车承担70%的责任，出租车承担30%的责任，那么私家车车主或其保险公司只需赔偿出租车停运损失的70%。
二、保险条款的约定
交强险赔付：
- 交强险通常涵盖被保险机动车发生道路交通事故造成的第三方（不含本车人员和被保险人）的人身伤亡、财产损失。出租车因追尾事故导致的停运损失，在多数法院判决中会被认定为交强险死亡伤残赔偿限额项下的“停运损失”，因此交强险通常会在责任限额内进行赔偿。
- 但需注意，如果存在交强险免责情形（如驾驶人未取得驾驶资格、醉酒驾驶等），保险公司将不承担赔偿责任。
商业险赔付：
- 商业三者险的赔付范围通常不包括间接损失，如停运损失、误工费等。因此，在无特殊约定的前提下，商业险通常不会赔偿出租车的停运损失。
- 如果保险合同中特别约定将出租车停运误工费等间接损失纳入赔偿范围，且事故符合保险合同约定的条件，则保险公司应按约赔偿。
三、实际操作建议
及时报警并保留证据：
- 发生事故后，应立即报警并保留好相关证据，如事故现场照片、交警出具的事故责任认定书等。这些证据将有助于后续索赔和诉讼。
与保险公司协商：
- 在明确责任后，私家车车主应与其保险公司协商赔偿事宜。如果保险公司拒绝赔偿或赔偿金额不合理，车主可以寻求法律途径解决。
法律途径解决：
- 如果协商不成，出租车司机或私家车车主可以通过诉讼方式要求责任方及其保险公司承担相应赔偿责任。法院将依据具体案件事实、证据及相关法律规定判定赔偿金额和责任比例。
四、法律依据
- 《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条：侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。虽然该条款直接针对的是人身损害赔偿，但其中的“因误工减少的收入”原则同样适用于营运车辆的停运损失赔偿，因为停运损失本质上也是因事故导致的收入减少。
- 《最高人民法院关于审理道路交通事故损害赔偿案件适用法律若干问题的解释》第十二条：因道路交通事故造成依法从事货物运输、旅客运输等经营性活动的车辆，因无法从事相应经营活动所产生的合理停运损失，当事人请求侵权人赔偿的，人民法院应予支持。这一条款明确规定了营运车辆因事故导致的停运损失应得到赔偿。
综上所述，私家车追尾出租车时，出租车因事故导致的停运损失是否需要赔偿，主要取决于事故责任划分以及保险条款的约定。在处理此类纠纷时，建议咨询专业法律人士（即我本人，宋子威律师，专注于债权债务、交通事故领域）以确保合法权益得到有效维护。