申请宣告失踪的起始时间计算，并非从法院判决或强制执行开始算，而是从公民下落不明满一定期限的次日起算。具体分析如下：
一、法律依据与期限规定
根据《中华人民共和国民法典》第四十条的规定：“自然人下落不明满二年的，利害关系人可以向人民法院申请宣告该自然人为失踪人。”以及第四十一条：“对下落不明的时间计算，从其失去音讯之日起计算。战争期间下落不明的，下落不明的时间自战争结束之日或者有关机关确定的下落不明之日起计算。”
一般情况：在一般情况下，自然人下落不明满二年，利害关系人即可向人民法院申请宣告其为失踪人。这里的“满二年”是指从公民失去音讯之日起计算，满两年后的次日，利害关系人便可以提出申请。
特殊情况：如果是在战争期间下落不明的，下落不明的时间自战争结束之日或者有关机关确定的下落不明之日起计算。同样，也是满一定期限（通常是二年，但具体可能根据战争情况和相关法律规定有所调整）后的次日，利害关系人可以提出申请。
二、申请宣告失踪的流程
利害关系人提出申请：利害关系人（如配偶、父母、子女等）应当向下落不明人住所地的基层人民法院提出申请，并附有公安机关或者其他有关机关关于该公民下落不明的书面证明。
法院受理与公告：人民法院受理申请后，应当发出寻找下落不明人的公告。公告期间为三个月（也有说法为根据案件情况可能有所不同，但一般不少于一定期限，此处以常见说法为例）。公告期间届满，人民法院应当根据被宣告失踪的事实是否得到确认，作出宣告失踪的判决或者驳回申请的判决。
判决与宣告：如果公告期间届满，下落不明人仍然下落不明，且没有其他相反证据表明其未失踪，人民法院将作出宣告失踪的判决，并指定财产代管人。
三、注意事项
申请时限：利害关系人应当在公民下落不明满一定期限（通常是二年）后的次日提出申请，而不是从法院判决或强制执行开始算。
证据准备：在提出申请时，利害关系人应当准备好相关证据，如公安机关或其他有关机关关于公民下落不明的书面证明等。
财产代管：宣告失踪后，人民法院将指定财产代管人管理失踪人的财产。利害关系人应当关注财产代管情况，确保失踪人的财产得到妥善管理。
总结来说，申请宣告失踪的起始时间是从公民下落不明满一定期限（通常是二年）的次日起算，而不是从法院判决或强制执行开始算。利害关系人应当在下落不明人满足宣告失踪条件后及时提出申请，并准备好相关证据。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。