结论：信用卡欠款1000多元，虽然银行在法律上有权起诉，但在实际操作中，起诉的可能性相对较低。不过，这并不意味着没有风险，你仍应尽快偿还欠款，以避免可能的法律后果和信用损害。
法律权利与实际操作分析
银行的法律权利：
- 根据相关法律规定，只要持卡人未按时偿还信用卡欠款，无论金额大小，银行都有权通过法律途径追讨。这意味着，即使欠款只有1000多元，银行在理论上也可以提起民事诉讼，要求你还款。
实际操作中的考量：
- 尽管银行有起诉的权利，但在实际操作中，由于起诉需要投入人力、物力和时间成本，银行通常会优先考虑成本效益比。对于小额欠款（如1000多元），银行更倾向于选择成本较低的催收方式，如电话、短信提醒等。
- 然而，如果你存在多次逾期、恶意拖欠、拒绝沟通等行为，或者逾期时间特别长，银行为了维护自身权益和信贷秩序，仍有可能采取起诉措施。
银行政策的差异：
- 不同的银行对于信用卡逾期的处理政策可能有所不同。有些银行可能对小额欠款采取更为严格的措施，而另一些银行则可能更加宽容。因此，你应了解自己所持信用卡银行的具体政策。
可能的法律后果
民事起诉：
- 如果银行选择起诉，胜诉后，法院将判决你偿还欠款及相应利息、滞纳金等费用。
- 如你未按判决规定期限履行还款义务，银行可申请强制执行，法院有权查询、冻结、划拨你的银行存款，或查封、扣押、拍卖其他财产。
信用记录损害：
- 即使银行未选择起诉，逾期欠款也会对你的个人信用记录产生负面影响。良好的信用记录对于个人的金融活动和未来发展至关重要，因此你应高度重视自己的信用状况。
建议与风险提示
积极沟通与合作：
- 你应尽快与银行取得联系，了解清楚自己的欠款情况，并努力制定并执行还款计划。通过积极沟通与合作，可以降低被起诉的风险，并有助于恢复个人信用。
避免未来风险：
- 在使用信用卡时，你应更加谨慎，确保按时还款，避免出现类似的逾期情况。这不仅有助于维护个人信用记录，还能避免不必要的法律纠纷和额外费用。
了解法律后果：
- 你应了解信用卡欠款可能带来的法律后果，包括民事起诉和信用记录损害等。这样，你可以更加理性地处理自己的债务问题，避免因为无知而陷入更深的困境。
综上所述，虽然信用卡欠款1000多元在银行实际操作中起诉的可能性较低，但你仍应尽快偿还欠款，并积极与银行沟通合作，以降低法律风险并维护个人信用。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。