结论：公司更名后，原公章的法律效力通常随之终止，应及时更换新公章并妥善处理旧公章，以避免法律风险和纠纷。虽然部分情况下可能无需将旧公章上交至相关部门，但继续使用旧公章进行交易或签署文件是不被推荐的。以下是对此问题的详细分析：
法律分析与具体操作
法律规定及一般要求
法律效力变更：
- 根据相关法律法规和工商管理规定，公司名称变更后，原公章即失去法律效力。这是因为公章是公司身份和权限的象征，公司名称变更后，原公章所代表的公司身份已发生变化，因此不再具有法律效力。
特殊情况处理：
- 在某些特殊情况下，如处理更名前已签订但未履行完毕的合同，可能需要暂时保留旧公章。但这种保留应经过合法审批程序，并在规定的期限和范围内使用。同时，需向相关方说明情况并提供必要的证明文件，以避免因使用旧公章而引发的法律纠纷。
不上交情况下的建议：
- 尽管部分地区可能不要求必须上交旧公章，但出于法律风险防范的考虑，建议公司在更名后尽快停止使用旧公章，并采取适当措施进行妥善处理。这包括销毁旧公章或将其妥善保管，以确保不会再次流入市场或被不当使用。
具体操作流程
缴销旧章（如需上交）：
- 完成名称变更登记后，公司应携带相关证明材料（如营业执照副本、法定代表人身份证明、变更登记通知书等）到原公章备案的公安机关办理旧公章缴销手续。公安机关会对旧公章进行登记、收缴，并出具缴销证明。这一步骤有助于确保旧公章不再被使用，从而降低法律风险。
刻制新章：
- 无论旧公章是否上交，公司都应尽快刻制新的公章。新公章的样式、规格应符合相关规定，并进行备案登记。刻制新章时，需凭公安机关出具的相应证明（如缴销证明或变更登记通知书）和其他相关材料，到指定的刻章机构进行刻制。新公章的刻制和使用是公司更名后的重要环节，必须确保合法、合规。
旧章处理：
- 如不需上交旧公章，公司应选择将其销毁或妥善保管。销毁时应确保彻底且安全，避免旧公章再次流入市场或被不当使用。妥善保管则需确保旧公章不会与现用公章混淆，且不会被误用。这有助于维护公司的合法权益和声誉。
风险防范与建议
及时更换公章：
- 公司更名后应尽快完成新公章的刻制和使用，以确保所有业务活动均使用有效的公章进行。这有助于避免因使用旧公章而引发的法律纠纷和损失。
通知相关方：
- 在更换公章后，公司应及时通知所有相关方（如客户、供应商、合作伙伴等），确保他们知晓并使用新的公章信息。这有助于维护公司的商业关系和信誉。
法律咨询：
- 在处理公章更换事宜时，如遇不确定或复杂情况，建议直接向我咨询以获取专业意见和指导。作为专业律师，我能够为公司提供全面、准确的法律建议和支持。
总结：公司更名后，原公章的法律效力通常随之终止。为避免法律风险和纠纷，公司应及时更换新公章并妥善处理旧公章。如有任何疑问或需要进一步的法律支持，请随时向我咨询。