根据我国现行法律规定，存在特定犯罪记录的人员通常不得收养子女，具体情形如下：

1. 涉及侵害未成年人权益的犯罪
   根据《民法典》第一千零九十八条及《中国公民收养子女登记办法》相关规定，收养人需具备“无不利于被收养人健康成长的违法犯罪记录”这一核心条件。若曾犯有虐待、遗弃、拐卖儿童、性侵害未成年人等犯罪行为，即使刑罚已执行完毕，也会因直接危害未成年人权益而被禁止收养。例如，甲曾因拐卖儿童被判刑，出狱后即使经济条件优越，仍不符合收养资格。

2. 暴力犯罪或危害国家安全犯罪
   虽法律未明确列举所有罪名，但实践中，故意杀人、故意伤害致人重伤/死亡、强奸、抢劫等暴力犯罪，以及危害国家安全犯罪的记录，会被认定为“不利于被收养人健康成长”。例如，乙因故意伤害罪致人残疾，其暴力倾向可能对被收养人构成潜在威胁，收养申请将被驳回。

3. 其他可能影响收养的犯罪
   若犯罪行为与道德品质、家庭责任感直接相关（如长期诈骗、赌博成瘾等），即使未明确列入禁止条款，民政部门在审查时也会综合评估其收养动机及抚养能力。例如，丙因诈骗罪多次入狱，虽未直接侵害未成年人，但其诚信缺失可能影响对被收养人的抚养质量。

法律后果与程序要求：

• 收养登记时，申请人需提交无犯罪记录证明（由公安机关出具），民政部门会联合公安、司法机关进行实质审查。
  
• 若隐瞒犯罪记录，一经查实，收养关系将被依法撤销，并可能承担行政处罚或刑事责任（如涉嫌伪造证件）。
  

建议：
若您或他人存在犯罪记录但希望收养，需先确认犯罪性质是否属于禁止范围。对于轻微犯罪（如交通肇事、非暴力经济犯罪）且已悔改多年者，可尝试通过社区证明、心理评估等方式证明抚养能力，但最终仍以民政部门审查结果为准。

如有具体案情或进一步疑问，可直接向我咨询，我将结合细节提供专业分析。