在劳务派遣关系中，劳动者发生工伤时，原则上由劳务派遣单位承担工伤保险责任，但用工单位在特定情况下也需承担相应责任。以下从不同角度详细分析：

一、劳务派遣单位的责任

1. 法定责任：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条，劳务派遣单位是法律意义上的用人单位，负有为被派遣劳动者缴纳工伤保险费的义务。
   • 当被派遣劳动者在工作过程中遭受事故伤害或被诊断、鉴定为职业病并认定为工伤时，劳务派遣单位应依法承担工伤保险责任，包括申请工伤认定、支付工伤保险待遇等。

2. 具体责任承担：

   • 若劳务派遣单位为劳动者依法缴纳了工伤保险，则工伤保险基金将支付大部分工伤赔偿项目，如医疗费用、康复费用等；劳务派遣单位则需承担停工留薪期工资、伤残津贴（五至六级难以安排工作时）及一次性伤残就业补助金等费用。
   • 若未缴纳工伤保险，所有原本由工伤保险基金支付的费用也将由劳务派遣单位全额承担。

二、用工单位的责任

1. 过错责任：

   • 虽然用工单位不是直接的用人单位，但若其对工伤的发生存在过错（如提供的劳动安全设施不符合标准、未进行必要的安全培训、强令冒险作业等），则应承担相应的补充赔偿责任。
   • 这意味着，在用工单位有过错的情况下，除劳务派遣单位承担主要责任外，用工单位还需对不足部分进行补偿。

2. 连带责任：

   • 依据《中华人民共和国劳动合同法》第九十二条第二款，若用工单位给被派遣劳动者造成损害，劳务派遣单位与用工单位需承担连带赔偿责任。劳动者可向任一方要求赔偿，赔偿后可根据双方过错比例进行追偿。

3. 协助义务：

   • 根据相关规定，用工单位有义务协助工伤认定的调查核实工作。同时，跨地区派遣的劳动者享有的劳动报酬和劳动条件按用工单位所在地标准执行，这间接强调了用工单位在提供安全工作环境方面的责任。

三、实际处理流程与建议

1. 报告与申请：

   • 发生工伤后，劳务派遣工应立即向劳务派遣单位报告。劳务派遣单位应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。特殊情况可经同意适当延长申请时限。

2. 逾期申请责任：

   • 若劳务派遣单位未在规定时限内提交工伤认定申请，期间发生的工伤待遇等相关费用由其承担。若劳务派遣单位未按规定提出申请，工伤职工或其近亲属、工会组织可在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起1年内直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。

3. 投诉举报：

   • 如劳务派遣单位未依法履行相关义务，劳动者有权向有关部门投诉举报以维护自身权益。

4. 建议：

   • 重视保险购买：劳务派遣单位和用工单位都应高度重视工伤保险的购买和有效性问题，确保劳动者的权益得到及时有效的保障。
   • 完善协议内容：在签订劳务派遣协议时，双方应明确工伤责任的分担方式，确保协议内容的合法性和可操作性。同时，应避免将风险全部转嫁给其中一方，以维护双方的长期合作关系。
   • 加强安全管理：用工单位应提供符合国家安全标准的劳动环境和设施，并对劳动者进行必要的安全培训和教育，以降低工伤事故的发生概率。

四、案例分析

例如，小李作为某劳务派遣公司派遣到工厂的员工，在工作中因机器故障受伤。若劳务派遣公司已为小李缴纳工伤保险，则工伤保险基金将支付相应工伤待遇；若工厂存在管理不善等过错导致工伤，工厂需与劳务派遣公司承担连带赔偿责任。若劳务派遣公司未缴纳工伤保险，则小李的所有工伤赔偿费用将由劳务派遣公司承担，且工厂在有过错的情况下同样需承担连带责任。

综上所述，劳务派遣工发生工伤时，应明确劳务派遣单位作为主要责任主体承担工伤保险责任，用工单位在特定情况下需承担连带赔偿责任并负有协助处理义务。劳动者应了解自身权益，及时报告并采取相应措施维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。