结论：同居期间共同经营的企业在一方名下，若另一方去世，其子女是否有权进行财产分配，这主要取决于去世一方在企业中的实际权益以及是否存在有效的遗嘱或法定继承情形。以下从多个角度进行详细分析：
一、企业性质与权益归属
个人独资企业：
- 若企业为去世一方个人独资设立，且同居期间另一方虽参与经营但未明确约定为共同所有，则企业财产原则上属于去世一方个人财产。
- 在此情况下，去世一方的子女作为法定继承人，有权继承其个人财产，包括在企业中的权益。但需注意，若同居期间另一方对企业有重大贡献且双方有约定，可能涉及补偿问题。
合伙企业或有限责任公司：
- 若企业为合伙企业或有限责任公司，且去世一方为企业合伙人或股东，其子女有权继承其在企业中的财产份额或股权。
- 继承后，子女将成为企业新的合伙人或股东，享有相应的权益和义务。但需遵守企业章程或合伙协议中关于继承的规定，如其他合伙人或股东是否享有优先购买权等。
二、遗嘱与法定继承
遗嘱继承：
- 若去世一方留有有效遗嘱，明确指定了企业财产的继承人，则子女是否有权继承需依据遗嘱内容确定。
- 遗嘱应符合法定形式要件，如自书遗嘱需由遗嘱人亲笔书写、签名并注明年、月、日；代书遗嘱需有两个以上见证人在场见证等。
法定继承：
- 若去世一方未留遗嘱或遗嘱无效，则子女作为法定继承人，有权继承其遗产，包括在企业中的权益。
- 法定继承顺序为：第一顺序为配偶、子女、父母；第二顺序为兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。
三、同居关系与财产分割
- 同居关系本身不受法律保护，但同居期间双方共同取得的财产，如无特别约定，应视为共同共有。
- 若能证明另一方对企业有实际投入或贡献，且双方有共同经营、共享收益的约定，则另一方可能享有企业部分权益。在此情况下，去世一方的子女继承其份额时，需考虑另一方的权益。
四、实际操作建议
收集证据：
- 收集企业设立、经营过程中的相关文件，如合伙协议、公司章程、出资证明等，以证明去世一方在企业中的权益。
- 收集同居期间双方共同经营、共享收益的证据，如银行流水、账目记录、证人证言等。
协商或诉讼：
- 优先尝试与去世一方的其他继承人或企业其他合伙人/股东协商，达成财产分割协议。
- 若协商不成，可向法院提起诉讼，请求确认去世一方在企业中的权益及继承份额。
寻求专业帮助：
- 在处理此类复杂财产纠纷时，建议咨询专业律师，以获取更具体、更专业的法律建议。
总结：同居期间共同经营的企业在一方名下，若另一方去世，其子女是否有权进行财产分配，需综合考虑企业性质、权益归属、遗嘱与法定继承以及同居关系与财产分割等多个因素。在处理此类纠纷时，建议收集充分证据，优先协商解决，必要时寻求专业律师的帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。