针对您提出的“劳务派遣员工发生工伤该由哪方负责，以及如何申请赔偿”的问题，以下是我根据相关法律法规和实际操作流程给出的详细解答：
一、责任主体
劳务派遣单位：
- 劳务派遣单位作为劳动者的用人单位，有义务与被派遣劳动者签订劳动合同，并为其缴纳社会保险，包括工伤保险。
- 当劳务派遣员工发生工伤时，劳务派遣单位应依法申请工伤认定，并承担相应的工伤保险责任。这包括从工伤保险基金中支付治疗工伤的医疗费用、康复费用、住院伙食补助费等。
用工单位：
- 用工单位是实际使用被派遣劳动者的单位，虽然与劳动者之间没有直接的劳动合同关系，但在工伤事故中也可能需要承担一定责任。
- 如果劳务派遣单位未依法为劳动者缴纳工伤保险费，或者因用工单位的过错（如未提供安全的工作环境、未进行必要的安全培训等）导致劳动者发生工伤，用工单位可能需要与劳务派遣单位承担连带赔偿责任。
二、赔偿流程
工伤认定：
- 劳动者发生工伤后，应立即向劳务派遣单位报告，并由劳务派遣单位在规定时间内（通常是30日内）向当地社会保险行政部门提出工伤认定申请。
- 社会保险行政部门将根据事实和法律进行工伤认定，确定是否属于工伤以及工伤的等级。
劳动能力鉴定：
- 经治疗伤情相对稳定后，如果劳动者存在残疾或影响劳动能力的情况，可以向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出劳动能力鉴定申请。
- 劳动能力鉴定委员会将根据劳动者的伤残情况作出鉴定结论，这是计算工伤赔偿金额的重要依据。
赔偿支付：
- 一旦认定为工伤并确定了伤残等级，劳务派遣单位应依法从工伤保险基金中支付相应的工伤保险待遇。
- 如果劳务派遣单位未依法为劳动者缴纳工伤保险费，则由劳务派遣单位自行支付工伤保险待遇，包括一次性伤残补助金、伤残津贴等。
三、特殊情况处理
跨地区劳务派遣：
- 在跨地区劳务派遣中，如果劳务派遣单位在用工单位所在地没有分支机构或无法为劳动者办理参保手续，应由用工单位代劳务派遣单位为劳动者办理参保手续并缴纳工伤保险费。
- 在这种情况下，一旦发生工伤事故，由用工单位所在地的社会保险经办机构按规定支付工伤保险待遇。
未参加工伤保险：
- 如果劳务派遣单位和用工单位均未为劳动者参加工伤保险，劳动者发生工伤后的所有赔偿费用将由劳务派遣单位和用工单位按照法律规定的责任范围共同承担。
四、建议与注意事项
- 作为劳务派遣员工，在发生工伤后应及时向劳务派遣单位报告，并保留好相关证据，如医疗记录、工伤事故报告等。
- 劳务派遣单位和用工单位应严格遵守相关法律法规，为劳动者缴纳工伤保险费，并提供安全的工作环境。
- 在处理工伤赔偿问题时，各方应积极沟通协商，确保劳动者的合法权益得到充分保障。
综上所述，劳务派遣员工发生工伤时，赔偿责任主要由工伤保险基金、劳务派遣单位和用工单位共同承担。具体责任划分需依据实际情况和相关法律法规判断。在申请赔偿时，应遵循工伤认定、劳动能力鉴定和赔偿支付的流程进行。