结论前置：公司以不能胜任工作为由辞退员工，是否需要支付经济补偿或赔偿金，主要取决于公司的辞退程序是否合法合规以及是否能够提供充分证据证明员工不能胜任工作。
一、需要支付经济补偿或赔偿金的情况
法律依据与程序要求：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条，若劳动者不能胜任工作，且经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任，用人单位需提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付一个月工资后，方可解除劳动合同。此时，公司需按劳动者在本单位工作的年限支付经济补偿，具体为每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 若公司未遵循上述法定程序，如未提前通知、未安排培训或调岗，或未能提供充分证据证明员工不能胜任工作即直接辞退，属于违法解除劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，公司需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
具体情形举例：
- 假设员工小张因连续多次绩效考核不合格被公司认定为不能胜任工作，但公司未安排任何培训或调岗就直接辞退了小张，且未提前通知也未额外支付工资。这种情况下，公司的辞退行为就是违法的，需要向小张支付双倍赔偿金。
经济补偿的计算：
- 经济补偿的计算基于员工在本单位工作的年限和月工资。月工资是指劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若员工月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿的标准将按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。
- 计算公式：经济补偿 = 工作年限 × 月工资（或职工月平均工资三倍，若月工资高于三倍标准且支付年限不超过十二年）
二、无需支付经济补偿或赔偿金的情况
法律依据与特殊情形：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，若劳动者在试用期间被证明不符合录用条件，用人单位可以解除劳动合同且无需支付经济补偿。
- 若公司已充分证明员工不能胜任工作，并依法提供了培训或调岗机会，员工仍不能胜任，且公司已提前三十日以书面形式通知或者额外支付了一个月工资，此情况下解除劳动合同也无需再支付额外经济补偿。
具体情形举例：
- 假设员工小李尚在试用期内，公司有明确、合理的录用条件，并已通过考核等方式证明小李不符合该条件。此时，公司辞退小李就无需支付任何经济补偿或赔偿金。
三、关键要点总结与建议
- 合法性是关键：公司在辞退员工时，必须确保程序的合法性，包括提前通知、提供培训或调岗机会等。这是避免支付赔偿金的重要前提。
- 证据是基石：公司必须能够举证证明员工不能胜任工作的具体情形，如绩效考核结果、工作表现记录等。这些证据是判断辞退行为是否合法的重要依据。
- 建议与行动：若公司确需辞退不能胜任工作的员工，建议先咨询专业法律人士（即我，蔡娜律师），确保辞退行为的合法性。同时，公司应完善内部考核机制，明确不能胜任工作的标准，并保留相关证据，以应对可能的法律纠纷。
作为蔡娜律师，我专注于婚姻家庭、劳动纠纷领域，如果你有任何相关法律问题，都可以直接向我咨询。