您好，关于车顶行李箱的合法安装问题，我可以为您详细解答。

首先，根据《机动车运行安全技术条件》(GB7258-2017)以及《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》的相关规定，车顶行李箱的安装是有一定限制的。具体来说，车顶行李架（包括行李箱）的高度从车顶起不得超过0.5米，从地面起高度不得超过4米。这是为了确保行车安全，避免因行李箱过高而影响车辆的稳定性和视线。

其次，对于车长大于7.5米的客车和所有校车，是不允许设置车外顶行李架的。而对于其他客车，如果需要设置车顶行李架，那么行李架的高度应小于或等于300mm，长度不应超过车长的三分之一。

另外，车顶行李架（包括行李箱）的安装必须牢固可靠，不能有任何可能使人致伤的尖锐凸起物，如尖角、锐边等。这是为了保障乘客和行人的安全。

关于备案问题，根据《机动车登记规定》(中华人民共和国公安部令第164号)的相关规定，小型、微型载客汽车在不改变车身主体结构且保证安全的情况下加装车顶行李架，需要在加装后三十日内向登记地车辆管理所申请变更备案。如果车辆不在登记地，也可以向车辆所在地的车辆管理所提出申请。

最后，关于车顶能否放自行车的问题，根据规定，载客汽车行李架载货（包括自行车）的高度从车顶起不得超过0.5米。因此，如果自行车的高度超过了这个限制，或者没有牢固地固定在行李架上，都是违法的。如果您想携带自行车，可以考虑将其放在内置行李箱内，或者将自行车在车顶行李架上平放绑好，确保牢固且长宽不要超出车身。

综上所述，车顶行李箱的合法安装需要遵守相关规定，包括高度限制、安装牢固性、备案要求等。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时咨询。