结论前置：对于没有约定还款日期且已经还部分款的借款，其诉讼时效期间原则上为三年，但具体起算点需根据债权人是否催告、是否给予宽限期以及债务人是否明确表示不履行义务等实际情况确定。

一、诉讼时效的基本规定

根据《中华人民共和国民法典》第一百八十八条的规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。法律另有规定的，依照其规定。诉讼时效期间自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。同时，自权利受到损害之日起超过二十年的，人民法院不予保护，有特殊情况的，人民法院可以根据权利人的申请决定延长。

二、未约定还款日期借款的诉讼时效起算

1. 一般情况：

   • 对于未约定还款期限的借款合同，若出借人（债权人）一直未向借款人（债务人）主张权利（即未催告还款），则诉讼时效不起算。出借人可以随时要求借款人还款，借款人也可以随时还款。
   • 若出借人催告借款人还款，并给予了明确的宽限期（即确定了一个新的还款日期），则诉讼时效从宽限期届满之日起开始计算三年。
   • 若出借人催告借款人还款，但未给予宽限期，则诉讼时效从出借人催告之日起开始计算三年。但债务人在债权人第一次向其主张权利之时明确表示不履行义务的，诉讼时效期间从债务人明确表示不履行义务之日起计算。

2. 已还部分款的情况：

   • 即使借款人已经偿还了部分款项，这并不影响剩余款项的诉讼时效计算。诉讼时效仍然按照上述规则，从债权人催告或宽限期届满之日起计算三年。
   • 需要注意的是，如果借款人在偿还部分款项后，又与债权人达成了新的还款协议或明确了新的还款期限，则诉讼时效从新的还款期限届满之日起计算。

三、诉讼时效的中断与重新计算

1. 中断情形：

   • 诉讼时效因提起诉讼、当事人一方提出要求或者同意履行义务而中断。从中断时起，诉讼时效期间重新计算。
   • 例如，出借人在诉讼时效期间内向法院提起诉讼或向借款人发出催款通知，都会导致诉讼时效中断并重新计算。

2. 重新计算规则：

   • 每次中断后，诉讼时效期间均重新计算为三年。这意味着，如果出借人在诉讼时效期间内多次向借款人主张债权或提起诉讼，每次都会导致诉讼时效中断并重新开始计算。

四、实践建议

1. 及时主张权利：

   • 债权人应定期向债务人主张权利，如通过发送催款通知、律师函等方式，以避免诉讼时效过期。
   • 在主张权利时，应明确要求债务人偿还剩余款项，并设定合理的宽限期（如需）。

2. 保留证据：

   • 债权人应妥善保留主张权利的相关证据，如书面催告通知、短信、微信聊天记录、邮件记录等，以备日后发生纠纷时使用。
   • 如果债务人已经偿还了部分款项，也应保留相关证据，以证明剩余款项的金额和诉讼时效的起算点。

3. 明确还款期限：

   • 建议在借款时或后续协商中明确还款期限和还款方式，以便更好地保障双方的权益，避免不必要的法律纠纷。

五、举例说明

假设张三于2018年1月1日向李四借款10万元，双方未约定还款期限。张三在2020年1月1日偿还了2万元，剩余8万元未还。

• 若李四一直未向张三主张剩余款项的还款，诉讼时效不会起算。
• 若李四于2022年5月1日催告张三偿还剩余8万元，并要求张三在2022年6月1日前还清，则诉讼时效从2022年6月1日起算三年，即至2025年5月31日届满。
• 若李四于2022年5月1日催告张三偿还剩余8万元，但未约定宽限期，且张三未明确表示不履行义务，则诉讼时效从2022年5月1日起算三年，即至2025年4月30日届满。但若张三在催告时明确表示不偿还剩余款项，则诉讼时效从张三明确表示不履行义务之日起计算。

综上所述，对于没有约定还款日期且已经还部分款的借款，其诉讼时效问题涉及多个方面。债权人应充分了解相关法律法规和实践建议，以确保自身权益得到有效保护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。