结论：对于累犯盗窃300块的情况，公安机关是否会跑到外地去抓人，这并非一个简单的“是”或“否”的问题，而是需要根据具体情况来判断。以下是从不同角度进行的分析：

1. 案件性质与严重程度：

   • 盗窃300元，从金额上看，并不构成数额较大的盗窃（通常数额较大指的是1000元至3000元以上，具体标准因地区而异）。但如果是累犯，即之前已经有过盗窃或其他犯罪记录，并被判处过刑罚，那么这可能会加重对当前行为的法律评价。
   • 尽管金额不大，但累犯的身份可能使得公安机关更倾向于积极追查，以确保法律的严肃性和对累犯的打击力度。

2. 公安机关的侦查策略：

   • 公安机关在侦查案件时，会根据案件的性质、严重程度、嫌疑人的身份和可能藏匿的地点等因素来制定侦查策略。
   • 如果公安机关认为嫌疑人可能藏匿在外地，或者有证据表明嫌疑人已经逃往外地，那么他们很可能会采取跨地区追查的措施。

3. 法律程序与规定：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，公安机关有权在全国范围内追查犯罪嫌疑人，不受地域限制。
   • 如果公安机关认为有必要，他们可以请求外地公安机关的协助，或者通过其他法律手段来追查和抓捕嫌疑人。

4. 实际案例与操作：

   • 在实际操作中，对于小额盗窃案件，尤其是初犯，公安机关可能会根据资源分配和案件优先级来决定是否跨地区追查。
   • 但对于累犯，尤其是那些有逃避法律制裁前科的嫌疑人，公安机关很可能会采取更为积极的追查措施，包括跨地区追查。

法律建议：

• 如果你或你认识的人涉及此类情况，建议尽快向公安机关自首，以争取从轻处理。自首是法律上的一个重要情节，可以在一定程度上减轻或免除处罚。
• 同时，也可以考虑咨询专业律师，了解具体的法律后果和可能的辩护策略。律师可以根据案件的具体情况，为你提供更为详细和专业的法律建议。

可能后果：

• 如果被公安机关抓获并证实有盗窃行为，尤其是作为累犯，可能会面临更为严厉的刑事处罚，包括有期徒刑、拘役或罚金等。
• 此外，累犯的身份还可能影响未来的就业、社会信用等方面，因此建议尽快解决法律问题，避免长期影响。

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