刑事立案监督既是对案件的监督，也是对公安机关立案活动合法性的监督，其核心在于确保立案活动的公正性、合法性和有效性。具体来说，可以从以下几个角度来理解：

1. 对应立未立案件的监督：

   • 当公安机关对符合法定立案条件的案件未予立案时，人民检察院有权进行监督。这包括不报不立的案件，即公安机关已获取犯罪事实信息和证据，但因缺乏控告、举报等关键性法律文件而未启动立案程序；以及应当立案而未立的案件，如公安机关明知符合立案条件却故意不予立案。
   • 实际影响：这种监督确保了符合立案条件的案件能够及时进入司法程序，维护了被害人的合法权益，也防止了公安机关滥用职权、不作为的情况。

2. 对不应当立案而立案的监督：

   • 公安机关对不符合法定立案条件而错误立案的情况，如将经济纠纷错误地作为刑事案件立案侦查，或者出于地方保护主义等其他不正当目的立案，人民检察院同样有权进行监督。
   • 实际影响：这种监督防止了公安机关滥用刑事立案权，保护了当事人的合法权益，避免了无辜者被错误追究刑事责任。

3. 对其他违法立案活动的监督：

   • 刑事立案监督还涵盖公安机关在立案过程中违反法定程序的行为，如未按规定进行受案登记、审查期限超过法定时限等，以及立案后未依法开展侦查活动，导致案件久拖不决或影响司法公正的情形。
   • 实际影响：这种监督确保了立案活动的整体合法性，包括立案程序是否规范、管辖是否适当等方面，维护了司法公正和当事人的合法权益。

4. 对立案活动合法性的全面监督：

   • 刑事立案监督不仅关注是否立案，还关注立案活动的整体合法性。这包括立案程序是否规范、是否存在超期立案、是否存在违规干预立案等情况。
   • 实际影响：这种全面监督有助于提升公安机关立案活动的质量和效率，确保刑事立案活动在法律框架内正确进行。

5. 推动行政执法与刑事司法的有效衔接：

   • 刑事立案监督还涉及推动行政执法机关在查处违法行为过程中，及时发现涉嫌犯罪线索并移送公安机关立案侦查，同时接受人民检察院和监察机关的依法监督。
   • 实际影响：这种监督机制有助于确保行政执法与刑事司法之间的顺畅衔接，有效打击犯罪行为，维护社会秩序和公共利益。

举例说明：假设在一起故意伤害案件中，被害人向公安机关报案，且有明确证据证明伤害行为存在并达到立案标准，但公安机关以各种理由不予立案。此时，人民检察院可介入监督，要求公安机关说明不立案理由，并在理由不成立时通知其立案。这就是对应立未立案件的监督。再比如，如果公安机关将一起经济纠纷错误地作为刑事案件立案侦查，人民检察院在发现后也有权进行监督，要求公安机关撤销案件或纠正错误立案行为。

总结与建议：刑事立案监督是维护司法公正和当事人合法权益的重要制度。如果你遇到公安机关在立案活动中存在违法行为或不当行为，或者认为自己的案件应当立案而未被立案，可以向人民检察院申请立案监督。同时，也建议你在遇到相关法律问题时，及时向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律意见和帮助。