结论：在您公司与有资质的一般固废处理公司签订合同后，若该公司私自违规倾倒，您公司不必然承担连带责任，但具体是否承担责任需根据实际情况判断。以下从不同角度为您详细分析：

一、合同相对性原则角度

1. 基本原理：根据合同相对性原则，合同仅在签订合同的双方当事人之间产生法律约束力。您公司与固废处理公司签订了合同，合同的权利义务主要约束您两方。如果固废处理公司私自违规倾倒，这是该公司违反合同约定以及相关法律法规的行为，从合同相对性角度，原则上应由该公司自行承担相应的法律责任，您公司不直接因该公司的违规行为而承担连带责任。
2. 例外情况：但是，如果您公司在合同签订过程中存在过错，例如明知该公司可能存在违规倾倒的风险，仍然与其签订合同，或者在与该公司合作过程中，存在指示、协助该公司违规倾倒等行为，那么您公司可能需要承担相应的法律责任，甚至可能承担连带责任。

二、环境污染侵权角度

1. 一般规定：根据《中华人民共和国民法典》第一千二百二十九条：“因污染环境、破坏生态造成他人损害的，侵权人应当承担侵权责任。”在固废处理公司违规倾倒导致环境污染的情况下，该公司作为侵权人应当承担侵权责任。如果您公司没有参与侵权行为，也没有过错，那么您公司不承担环境污染侵权的连带责任。
2. 特殊情形：如果您公司对固废处理公司的违规倾倒行为存在过错，比如未按照合同约定对固废处理过程进行监督，或者提供的固废信息不准确等，导致环境污染事故的发生，那么您公司可能需要根据过错程度承担相应的赔偿责任。如果您的过错与固废处理公司的违规行为共同导致了环境污染损害结果的发生，您公司可能需要与固废处理公司承担连带赔偿责任。

三、行政责任角度

1. 行政处罚对象：从行政责任的角度来看，固废处理公司私自违规倾倒一般固废，环保部门等行政机关会对其进行行政处罚，如罚款、责令停产整治等。您公司如果没有参与违规行为，通常不会因该公司的违规行为而直接受到行政处罚。
2. 特殊监管责任：然而，如果您公司作为固废的产生单位，对固废处理公司的选择、监管等方面存在疏忽或过错，环保部门等行政机关可能会要求您公司承担一定的监管责任，例如责令您公司加强固废管理、限期整改等。在极端情况下，如果您公司的行为严重违反了相关环保法律法规，也可能会受到行政处罚。

法律建议：

1. 审查合同条款：建议您仔细审查与固废处理公司签订的合同条款，明确双方的权利义务，特别是关于固废处理方式、监督机制、违约责任等方面的约定。如果合同中存在漏洞或不明确的地方，及时与固废处理公司协商补充或修改。
2. 加强监督：在合同履行过程中，加强对固废处理公司的监督，确保其按照合同约定和相关法律法规的要求进行固废处理。可以要求固废处理公司定期提供处理报告、监测数据等，以便您公司及时了解固废处理情况。
3. 保留证据：保留与固废处理公司签订的合同、沟通记录、监督记录等相关证据，以备在发生纠纷时能够证明您公司已经履行了相应的义务，不存在过错。
4. 及时应对：如果发现固废处理公司存在违规倾倒等行为，及时采取措施制止，并向环保部门等行政机关报告。同时，评估该行为可能对您公司造成的影响，必要时咨询专业律师，采取法律手段维护自身权益。

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