结论：工伤申请仲裁之后双方私下和解得到赔偿的时效，一般从双方达成和解协议并确定赔偿金额及支付方式等具体内容之日起算，但需注意该和解协议的履行情况以及可能存在的仲裁时效中断、中止等情形对时效计算的影响。以下从不同角度详细分析：

一、和解协议达成与仲裁时效起算

1. 和解协议达成：在工伤申请仲裁后，双方若通过协商达成私下和解，通常会签订一份和解协议。这份协议是双方真实意思的表示，具有法律效力。和解协议中会明确赔偿金额、支付方式、支付时间等关键条款。

2. 仲裁时效起算：一般来说，从和解协议达成并确定上述具体内容之日起，可以视为劳动者知道或应当知道其权利将通过和解方式得到实现，此时若用人单位未按和解协议履行赔偿义务，劳动者即知其权利被侵害，仲裁时效开始起算。但需注意，如果和解协议中约定了履行期限，且在该期限内用人单位未履行，则仲裁时效从履行期限届满之日起算。

二、仲裁时效的中断与中止

1. 仲裁时效中断：在仲裁时效期间内，如果劳动者再次向用人单位主张权利（如催讨赔偿款）、请求权利救济（如向劳动监察部门投诉）或用人单位同意履行义务（如承诺在一定期限内支付赔偿款），则仲裁时效中断，并从中断时起重新计算。这意味着，如果双方在和解后因赔偿款支付问题再次产生争议，并发生了上述中断情形，那么仲裁时效将重新开始计算。

2. 仲裁时效中止：如果因不可抗力（如自然灾害、战争等）或有其他正当理由（如劳动者因突发重大疾病无法行使权利），导致劳动者无法在仲裁时效内申请仲裁的，仲裁时效中止。中止的原因消除后，仲裁时效期间继续计算。例如，如果劳动者在和解后因突发疾病无法及时申请仲裁，且该疾病持续了一段时间，那么在这段时间内仲裁时效将中止计算。

三、实际操作建议

1. 保留证据：在达成和解协议后，劳动者应妥善保管和解协议原件及相关证据（如沟通记录、支付凭证等），以备不时之需。这些证据在后续可能发生的争议中将起到关键作用。

2. 及时行使权利：如果用人单位未按和解协议履行赔偿义务，劳动者应及时行使权利，向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或采取其他法律途径维护自己的合法权益。避免因超过仲裁时效而丧失胜诉权。

3. 关注时效变化：在仲裁时效期间内，劳动者应密切关注可能发生的时效中断或中止情形，并及时采取相应措施。例如，如果发生时效中断情形，应及时重新计算时效期间；如果发生时效中止情形，应在中止原因消除后及时继续计算时效期间。

示例说明：假设劳动者在工伤申请仲裁后与用人单位达成和解协议，约定用人单位在30日内支付赔偿款5万元。如果用人单位在30日内未支付赔偿款，则从第31日起算仲裁时效。但如果在这30日内劳动者向用人单位催讨过赔偿款（发生了时效中断情形），则仲裁时效将从催讨之日起重新计算。

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