面对牙科不肯退费的情况，您可以按照以下步骤来尝试解决：

一、与牙科诊所直接沟通

1. 明确表达诉求：首先，您需要再次与牙科诊所进行沟通，明确表达您的退费诉求，并说明退费的原因，比如服务未达到预期、治疗过程中出现问题等。

2. 要求书面承诺：如果诊所同意退费，最好要求他们提供书面的退费承诺，包括退费金额、退费时间等关键信息，以便后续维权。

二、收集并保留证据

1. 保留缴费凭证：确保您保留了所有与缴费相关的凭证，如收据、发票、转账记录等。

2. 记录沟通情况：在与诊所沟通的过程中，尽量录音或记录下沟通的内容，特别是对方关于退费的承诺或拒绝退费的理由。

3. 收集治疗记录：如果可能的话，收集您的治疗记录，包括治疗计划、治疗过程、治疗效果等，以证明诊所的服务是否达到预期。

三、寻求第三方协助

1. 联系消费者协会：如果与诊所的沟通没有结果，您可以联系当地的消费者协会，寻求他们的帮助和调解。

2. 向卫生健康部门投诉：牙科诊所属于医疗服务行业，您可以向当地的卫生健康部门投诉，反映诊所的不当行为，并要求他们进行调查和处理。

3. 考虑法律途径：如果以上方法都没有效果，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益，比如向法院提起诉讼。

四、参考类似案例

您提到的“人民网网友反映牙科诊所跑路患者维权无门”的案例，虽然情况略有不同，但其中涉及到的维权步骤和思路是相似的。在那个案例中，患者通过向相关部门投诉，最终成功获得了退费。这说明了在面对类似问题时，积极寻求第三方协助是非常重要的。

五、注意事项

1. 保持冷静和理性：在处理这类问题时，保持冷静和理性是非常重要的。避免与诊所发生不必要的冲突，以免影响问题的解决。

2. 及时行动：一旦发现诊所不肯退费，应尽快采取行动，以免错过最佳的维权时机。

3. 了解相关法律法规：在维权过程中，了解相关的法律法规是非常有帮助的。这可以帮助您更好地理解自己的权益和义务，以及诊所的责任和义务。

综上所述，面对牙科不肯退费的情况，您可以通过与诊所直接沟通、收集并保留证据、寻求第三方协助、参考类似案例以及注意相关事项来尝试解决问题。希望这些建议能对您有所帮助。