结论：民事二审终审败诉后，当事人仍然有权申请再审，但再审的申请需满足严格的法定条件，并遵循规定的程序。以下是对这一问题的详细解答：
一、申请再审的法律依据与重要性
根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定，认为有错误的，可以向上一级人民法院申请再审。再审程序是法律赋予当事人的重要权利，旨在纠正可能存在的错误裁判，保障司法公正。
二、申请再审的条件
主体资格：申请再审的主体必须是当事人或其法定代理人。
对象要求：申请再审的对象为已生效的判决、裁定或调解书。
法定情形：申请再审需符合以下法定情形之一：
- 有新的证据，足以推翻原判决、裁定；
- 原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明；
- 原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的；
- 原判决、裁定认定事实的主要证据未经质证；
- 当事人因客观原因不能自行收集主要证据，且书面申请人民法院调查收集，人民法院未调查收集；
- 原判决、裁定适用法律确有错误；
- 审判组织组成不合法或应回避的审判人员未回避；
- 无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼，或因不可归责于本人及其诉讼代理人的事由未参加诉讼；
- 违反法律规定，剥夺当事人辩论权利；
- 未经传票传唤，缺席判决；
- 原判决、裁定遗漏或超出诉讼请求；
- 据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或变更；
- 审判人员在审理案件时有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为。
时间限制：通常应在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出再审申请。若因新证据的发现等法定事由，应自知道或应当知道之日起六个月内提出。
三、申请再审的流程
准备再审材料：
- 再审申请书：应写明当事人的基本情况、联系方式及再审请求，详细阐述申请再审的理由和依据。
- 身份证明：包括身份证或其他有效证件的复印件。
- 原审判决书或裁定书：提供原件或经核对无误的复印件。
- 证据材料：支持再审理由的相关证据，如新证据、原审中未被采纳的证据等。
- 其他相关材料：如委托他人代为申请的，需提供授权委托书及受托人的身份证明。
提交再审申请：
- 将准备好的再审申请材料提交给作出生效判决、裁定的法院的上一级法院。提交方式可以是亲自到法院立案庭递交，也可以通过邮寄等方式送达。
法院审查受理：
- 法院会对再审申请进行审查，主要包括形式审查和实质审查。形式审查检查申请材料是否齐全、格式是否正确；实质审查评估再审理由是否充分，是否符合法律规定的再审情形。
- 经审查，符合再审条件的，法院会裁定再审；不符合条件的，会驳回再审申请。
再审审理与裁决：
- 法院决定再审后，会另行组成合议庭进行审理。
- 根据案件情况，法院可能安排开庭审理，也可能通过询问当事人等方式进行审理。
- 经过审理，法院会根据查明的事实和法律规定，作出新的裁决。
四、再审的后续处理
- 执行新裁决：如果再审裁决改变了原判决、裁定，当事人应按照新裁决履行义务或享有权利。
- 继续寻求救济：对再审裁决仍不服的，当事人可以在法定期限内向上级法院提起上诉（如果是按照第一审程序审理的）或向人民检察院申请检察建议或抗诉（但需注意，对于已经再审过的案件，再次申请再审的难度较大）。
五、注意事项
- 再审不停止执行：申请再审期间，原判决、裁定仍继续执行。但按照审判监督程序决定再审的案件，会裁定中止执行（特定类型案件除外）。
- 再审结果的不确定性：即使申请再审被受理并进入再审程序，也不能保证改变原裁判结果。再审法院将根据具体情况进行审理和判断。
建议：在申请再审过程中，建议当事人充分准备证据材料，详细阐述再审理由，并遵循法定程序和要求。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。