劳动合同到期时，您或公司确实都有权选择是否续签，但这一决策过程需要严格遵循相关法律法规，以确保双方权益得到妥善保障。以下是对此问题的详细解析：

一、公司可以选择不续签劳动合同的情况

1. 合同期满自然终止：劳动合同一旦期满，除非双方另有约定，否则劳动关系即告终止。公司有权根据自身经营需要和员工表现，决定是否与您续签新的劳动合同。若公司决定不续签，应提前以书面形式通知您，以便您有足够的时间准备和应对。

2. 经济补偿支付：在一般情况下，如果公司选择不续签劳动合同，通常需要向您支付经济补偿。经济补偿的计算标准依据您在本单位工作的年限确定，具体为每满一年支付一个月工资的标准。对于工作六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，则支付半个月工资的经济补偿。例如，若您在公司工作了3年，月工资为5000元，那么公司应支付的经济补偿金为15000元。

二、公司不能随意不续签劳动合同的特殊情况

然而，并非所有情况下公司都可以自由选择不续签劳动合同。根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，存在以下特殊情形的，公司不能仅以合同到期为由不续签：

• 您从事接触职业病危害作业且未进行离岗前职业健康检查，或疑似职业病病人在诊断或医学观察期间；
• 您在本单位患职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力；
• 您患病或非因工负伤，且在规定的医疗期内；
• 您为女职工，且在孕期、产期、哺乳期；
• 您在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年；
• 法律、行政法规规定的其他不得解除劳动合同的情形。

在这些特殊情况下，公司必须依法处理劳动关系，不得随意终止合同，否则将承担法律责任。

三、您作为劳动者的权利

作为劳动者，您同样有权在劳动合同到期时选择是否续签。如果公司未降低原劳动合同约定条件，而您主动选择不续签，那么公司无需支付经济补偿。但如果公司降低了条件导致您不续签，则公司需支付经济补偿。

四、处理流程与建议

1. 提前通知与协商：双方应在劳动合同到期前提前通知对方续签意愿，并就续签条件进行协商。如无法达成一致，劳动合同到期自然终止。

2. 办理离职手续：不论哪一方提出不续签，均需按公司规定办理离职手续，包括工作交接、结算工资、社保关系转移等。

3. 支付经济补偿（如适用）：如需支付经济补偿，公司应在离职手续办理完毕时一并支付。

4. 寻求法律帮助：如果在处理过程中出现争议，建议首先通过协商解决；协商不成时，可寻求调解、仲裁或诉讼等途径维护自身合法权益。

综上所述，劳动合同到期时的续签问题涉及双方权益，需根据相关法律法规和实际情况来处理。希望以上解答能对您有所帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时咨询。