结论：开放式小区业主私自种的树枯死后是否可以砍伐，需视具体情况而定，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
树木所有权与物业规定
- 树木所有权：首先，需要明确这棵树的所有权归属。如果树木是业主在自家宅基地或专有部分（如庭院）内种植的，且种植行为符合相关规定，那么业主通常拥有这棵树的所有权。在这种情况下，如果树木枯死，业主有权决定是否砍伐，但应确保砍伐行为不会对公共安全或他人权益造成损害。
- 物业规定：如果树木位于小区的公共区域，如绿化带、道路旁等，那么树木的所有权可能归属于小区全体业主或物业公司。在这种情况下，业主私自砍伐枯死的树木可能违反物业规定或小区管理规约，需要得到物业公司或业主大会的同意。
砍伐行为的合法性
- 城市绿化条例：根据《城市绿化条例》等相关法律法规，砍伐城市树木通常需要经过相关部门的批准。即使树木枯死，业主也不能随意砍伐，特别是当树木位于公共区域时。未经批准擅自砍伐树木可能面临行政处罚，如罚款、补种树木等。
- 安全考虑：如果枯死的树木存在倒塌、断裂等安全隐患，威胁到公共安全或他人生命财产安全，业主应及时向物业公司或相关部门报告，并按照指示进行处理。在紧急情况下，为了保障公共安全，业主可能可以在得到物业公司或相关部门同意后，先行砍伐枯死的树木，但事后仍需补办相关手续。
建议与操作流程
- 咨询物业公司：在决定砍伐枯死的树木之前，业主应首先咨询物业公司或小区管理处，了解树木的所有权归属、砍伐规定以及需要办理的手续。
- 办理砍伐手续：如果树木位于公共区域或需要经过相关部门批准才能砍伐，业主应按照物业公司或相关部门的要求，办理砍伐手续。这通常包括提交砍伐申请、提供树木枯死的证明、说明砍伐原因和计划等。
- 安全砍伐：在获得批准后，业主应确保砍伐行为的安全进行。可以聘请专业的砍伐队伍进行操作，以避免因操作不当导致的安全事故或财产损失。
后续行动建议：
- 如果业主对树木的所有权归属或砍伐规定存在疑问，可以向物业公司或相关部门咨询，以获取更准确的信息。
- 在砍伐枯死的树木之前，业主应确保已经办理了所有必要的手续，并遵守了相关的法律法规和物业规定。
- 如果砍伐行为涉及到公共安全或他人权益，业主应特别谨慎处理，并在必要时寻求专业法律意见。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。