结论前置：投诉举报的履职信回复是否必须授予行政复议等权利，取决于回复的具体内容和性质。若回复构成具体行政行为并对投诉举报人的权利义务产生实际影响，或存在违法、不当情形，则投诉举报人可以申请行政复议；反之，若回复仅为指导性、建议性内容或无强制力的解释说明，则通常不属于行政复议的受案范围。
详细分析：
一、可以申请行政复议的情况
回复构成具体行政行为：
- 当投诉举报的履职信回复是行政机关针对特定投诉举报人作出的，且该回复对投诉举报人的权利义务产生实际影响（如涉及财产、人身权益等），并具有明确处理决定和具体内容时，它即属于具体行政行为。例如，市场监管部门对投诉举报事项调查后作出的涉及投诉举报人自身权益的答复，若投诉举报人有充分证据证明答复有误且影响其权益，则可申请行政复议。
回复存在违法或不当情形：
- 若投诉举报的履职信回复存在违法或明显不当情形，如违反法定程序、未依法收集证据、未听取投诉举报人意见，或答复内容明显不合理、不公正，投诉举报人可依法申请行政复议，要求上级行政机关审查并纠正。
投诉举报人为维护自身合法权益：
- 当投诉举报人为维护自身合法权益而举报违法行为，并要求行政机关查处，若对行政机关就投诉举报事项的处理或不作为行为不服，此时投诉举报的履职信回复可视为具体行政行为，对投诉举报人权利义务产生影响，因此投诉举报人可以申请行政复议。
二、不可以申请行政复议的情况
回复不具有强制力：
- 若投诉举报的履职信回复仅为行政机关提供的信息、指导、建议或解释说明，不具有强制力，也未对投诉举报人设定具体权利义务，则通常不属于行政复议的受案范围。例如，行政机关针对投诉举报事项提供的一般性政策解读或参考性意见，无实质性处理决定，不可申请行政复议。
回复属于内部行政行为：
- 若投诉举报的履职信回复是行政机关内部的沟通、协调、处理意见等，未对外发生法律效力，不直接影响投诉举报人作为外部相对人的权利义务，也不属于行政复议的范围。
三、法律依据与申请方式
- 法律依据：根据《中华人民共和国行政复议法》及相关实施条例，公民、法人或其他组织认为具体行政行为侵犯其合法权益的，有权提出行政复议申请。
- 申请方式：投诉举报人应在自知道具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请，可书面或口头申请。口头申请的，行政复议机关应当场记录申请人的基本情况、行政复议请求、主要事实、理由和时间。
四、建议与提醒
- 在收到投诉举报的履职信回复后，投诉举报人应仔细审查回复内容，判断其是否构成具体行政行为，以及是否对自己的权利义务产生了实际影响。
- 若认为回复存在违法或不当情形，或对自己的权益造成了损害，投诉举报人应及时收集证据，并在法定期限内申请行政复议，以维护自己的合法权益。
综上所述，投诉举报的履职信回复是否可申请行政复议需根据具体情况判断。若回复构成具体行政行为并对投诉举报人权利义务产生实际影响，或存在违法、不当情形，投诉举报人可依法申请行政复议以维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。