针对电梯在超期未检验的情况下擅自运行使用，且相关责任方拒不承认的情况，处罚措施主要依据相关法律法规进行，以下从法律责任、处罚措施及举证建议三个角度进行详细分析：

1. 法律责任：

   • 根据《中华人民共和国特种设备安全法》的相关规定，电梯作为特种设备，其使用单位有义务确保电梯经过定期检验并处于安全运行状态。若电梯超期未检验而擅自运行使用，使用单位已违反了该法律，需承担相应的法律责任。
   • 若相关责任方（如物业管理公司、电梯维护单位等）拒不承认电梯超期未检验或擅自运行使用的事实，这并不影响其法律责任的承担。法律责任的认定是基于事实行为，而非责任方的承认与否。

2. 处罚措施：

   • 行政处罚：特种设备安全监督管理部门有权对违反特种设备安全法的行为进行行政处罚。对于电梯超期未检验而擅自运行使用的行为，监督管理部门可以责令使用单位停止使用电梯，并处以罚款。罚款的数额根据违法行为的严重程度和造成的后果等因素确定，可能从数万元到数十万元不等。
   • 刑事责任：若电梯超期未检验而擅自运行使用导致严重后果（如人员伤亡、重大财产损失等），相关责任方还可能构成犯罪，需承担刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，可能涉及的罪名包括重大责任事故罪、玩忽职守罪等。

3. 举证建议：

   • 收集证据：若您发现电梯存在超期未检验而擅自运行使用的情况，并希望追究相关责任方的法律责任，首先应收集相关证据。证据可以包括电梯的检验报告、运行记录、监控录像、目击者证言等。这些证据将有助于证明电梯的超期未检验状态和擅自运行使用的事实。
   • 向监督管理部门举报：收集到足够证据后，您可以向当地的特种设备安全监督管理部门举报相关责任方的违法行为。监督管理部门将依法进行调查处理，并根据调查结果对责任方进行相应的处罚。
   • 寻求法律援助：若您在处理此类纠纷时遇到困难或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。作为专业律师，我将根据您的具体情况提供针对性的法律建议和帮助。

总结来说，电梯在超期未检验的情况下擅自运行使用是违法行为，相关责任方需承担相应的法律责任。若责任方拒不承认，您可以通过收集证据、向监督管理部门举报等方式来维护自己的合法权益。如有需要，请随时向我咨询相关法律问题。