结论：买了眼霜后眼周发红，是否可以申请赔偿取决于多个因素，包括是否构成产品缺陷、是否造成了实际损害以及能否证明损害与使用眼霜之间的因果关系等。以下从不同角度为您详细分析：

一、产品缺陷与损害赔偿的法律依据

根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的相关规定，因产品存在缺陷造成他人损害的，被侵权人有权请求生产者或销售者承担侵权责任。这里的“产品缺陷”通常指的是产品存在危及人身、他人财产安全的不合理的危险，或者产品不符合保障人体健康和人身、财产安全的国家标准、行业标准。

二、是否构成产品缺陷

1. 眼霜成分问题：如果眼霜中含有对皮肤有害的成分，或者成分超标，导致您眼周发红，这可能构成产品缺陷。
2. 过敏反应：虽然过敏反应不一定直接等同于产品缺陷，但如果产品未明确标注可能引起过敏的成分，或者未提供足够的警示信息，也可能被视为存在缺陷。
3. 产品质量问题：如眼霜在生产、储存或运输过程中受到污染，导致使用后出现不良反应，这也可能构成产品缺陷。

三、是否造成了实际损害

您需要证明眼周发红是由于使用眼霜导致的，并且这种发红已经对您的生活、工作或健康造成了实际影响，如疼痛、不适、影响外观等。这通常需要您提供医疗证明或其他相关证据。

四、因果关系的证明

您需要证明眼周发红与使用眼霜之间存在直接的因果关系。这可能需要您提供使用眼霜前后的照片、医疗记录、专家意见等证据来支持您的主张。

五、赔偿申请的具体步骤

1. 收集证据：包括购买眼霜的凭证、使用前后的照片、医疗记录、专家意见等。
2. 与商家协商：首先尝试与销售眼霜的商家进行协商，看是否能够达成赔偿协议。
3. 寻求法律援助：如果协商无果，您可以考虑寻求法律援助，包括咨询律师、向消费者协会投诉或提起诉讼等。

六、可能面临的挑战

1. 因果关系证明困难：由于个体差异和多种可能的影响因素，证明眼周发红与使用眼霜之间的直接因果关系可能具有挑战性。
2. 商家抗辩：商家可能会提出各种抗辩理由，如您自身皮肤敏感、使用不当等，以拒绝承担赔偿责任。

建议：如果您认为眼霜导致了您眼周发红，并且已经造成了实际损害，我建议您首先收集相关证据，然后与商家进行协商。如果协商无果，您可以考虑咨询专业律师（即我本人，高嘉航律师，专注于刑事辩护、侵权纠纷、知识产权领域），以了解您的法律权益和可能的赔偿途径。在处理此类纠纷时，保持冷静、理性，并依法维护自己的合法权益是非常重要的。