结论前置：工厂在符合法律法规规定的情况下，可以开除员工。以下是工厂可以合法开除员工的常见情形及详细解释：
一、劳动者存在过错的情况
试用期不符合录用条件：
- 在试用期间，如果员工被证明不符合工厂的录用条件，工厂有权解除劳动合同。这要求工厂在招聘时明确录用标准，并在试用期内对员工进行客观评价。例如，如果工厂招聘的是需要具备特定技能或经验的岗位，而员工在试用期内无法展示这些技能或经验，工厂可以依据此理由开除员工。
严重违反规章制度：
- 如果员工严重违反了工厂的规章制度，如旷工、打架斗殴、泄露商业秘密等，工厂可以依据规章制度解除劳动合同。这需要工厂有完善且合法的规章制度，并确保员工知晓这些制度。例如，工厂可以规定连续旷工三天或累计旷工五天视为严重违反规章制度，一旦员工达到这一标准，工厂即可开除。
严重失职或营私舞弊：
- 员工因严重失职给工厂造成重大损害，或者营私舞弊、侵占工厂财产，工厂可以解除劳动合同。例如，员工因疏忽导致生产事故，造成重大经济损失；或者利用职务之便贪污公款等。在这些情况下，工厂有权开除员工并追究其法律责任。
与其他单位建立劳动关系：
- 如果员工未经工厂同意，同时与其他用人单位建立劳动关系，且对完成工厂的工作任务造成严重影响或拒不改正，工厂可以解除劳动合同。例如，员工在工厂工作期间，又同时在另一家公司兼职，且因兼职导致无法按时完成工厂的工作任务，工厂可以依据此理由开除员工。
劳动合同无效：
- 因员工欺诈、胁迫等手段导致劳动合同无效的，工厂可以解除劳动合同。例如，员工在入职时提供虚假学历或工作经历，工厂在发现后可以依据此理由开除员工。
被依法追究刑事责任：
- 如果员工因违法行为被依法追究刑事责任，工厂可以解除劳动合同。例如，员工因盗窃、贪污等犯罪行为被法院判处刑罚，工厂可以依据此理由开除员工。
二、非劳动者过错但符合法定解除条件的情况
劳动者患病或非因工负伤：
- 医疗期满后，员工不能从事原工作也不能从事由工厂另行安排的工作的，工厂可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后解除劳动合同。例如，员工因患病需要长期治疗，医疗期满后无法回到原岗位工作，且工厂无法为其安排其他合适的工作岗位，工厂可以依据此理由开除员工。
劳动者不能胜任工作：
- 员工不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的，工厂可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后解除劳动合同。例如，员工因技能不足或工作态度问题无法胜任当前工作，工厂为其提供了培训或调整了工作岗位，但员工仍然无法胜任，工厂可以依据此理由开除员工。
劳动合同订立时的客观情况发生重大变化：
- 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经工厂与员工协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的，工厂可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后解除劳动合同。例如，工厂因市场变化或政策调整需要搬迁至其他城市，导致员工无法继续履行劳动合同，且双方无法就变更劳动合同内容达成协议，工厂可以依据此理由开除员工。
三、经济性裁员的情况
- 工厂因依照企业破产法规定进行重整、生产经营发生严重困难、企业转产或重大技术革新等原因需要裁减人员二十人以上或者裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的，工厂应提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，可以裁减人员。在这种情况下，工厂可以开除被裁减的员工，但需支付经济补偿金。
法律建议：
- 工厂在开除员工时，应确保有充分的证据支持开除决定，如员工违规行为的记录、证人证言等。
- 工厂应与员工进行沟通，告知其开除决定及理由，并听取员工的陈述和申辩。
- 工厂应依法向员工支付应得的工资、经济补偿等款项，并及时办理离职手续，如社保转移、档案移交等。
可能后果：
- 如果工厂无正当理由且未遵循法定程序私自开除员工，这将被视为违法解除劳动合同。员工有权要求继续履行合同或要求工厂支付赔偿金。
- 同时，工厂也可能因违法解除劳动合同而面临劳动行政部门的处罚或诉讼风险。
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