公安机关发现当事人触犯刑法后，会按照以下法定流程进行处理：

1. 立案阶段
   公安机关在发现犯罪事实或接到报案后，会首先进行初步审查，确认是否存在犯罪事实、是否需要追究刑事责任，以及是否属于本机关管辖范围。若符合条件，将正式立案侦查，并制作《立案决定书》。此阶段的核心是判断案件是否具备刑事立案的法定要件。

2. 侦查阶段
   立案后，公安机关会展开全面侦查，包括但不限于：

   • 调查取证：收集物证、书证、证人证言、被害人陈述、犯罪嫌疑人供述等证据；
     
   • 勘验、检查、鉴定：对犯罪现场、物品、人身等进行勘验或委托鉴定（如DNA、指纹、伤情鉴定等）；
     
   • 讯问犯罪嫌疑人：依法对犯罪嫌疑人进行讯问，并制作笔录；
     
   • 采取强制措施：根据案情需要，可对犯罪嫌疑人采取拘留、逮捕、取保候审或监视居住等措施，以确保侦查顺利进行。
     注：侦查阶段公安机关需在法定期限内完成（如拘留最长37天，逮捕后侦查期限一般2个月），逾期需变更强制措施或释放。

3. 审查起诉阶段
   侦查终结后，公安机关会将案件移送人民检察院审查起诉。检察院需在1个月内作出决定，可延长15日。此阶段检察院会重点审查：

   • 证据是否充分、合法；
     
   • 犯罪事实是否清楚；
     
   • 是否应追究刑事责任。
     若检察院认为证据不足或无需追责，可作出不起诉决定；若认为需追责，则向法院提起公诉。

4. 审判阶段
   案件进入法院后，会依法进行开庭审理。法院会通过法庭调查、辩论、被告人最后陈述等环节，核实证据、查明事实，并最终作出有罪或无罪判决。若被告人不服判决，可在法定期限内上诉，二审法院将进行终审裁判。

补充说明：

• 当事人权利保障：在整个流程中，当事人有权委托律师提供法律帮助，律师可会见犯罪嫌疑人、查阅案卷材料、提出辩护意见等。
  
• 特殊程序：若案件涉及未成年人、死刑、认罪认罚等情形，可能适用特别程序（如速裁程序、简易程序），流程会有所简化或调整。
  

若您或身边的人涉及具体案件，可进一步向我咨询细节，我会结合案情为您分析流程中的关键节点及应对策略。