结论：母亲声称被大儿子揍并要求大儿子支付医疗费用是否合法，这取决于大儿子是否确实实施了殴打行为以及该行为是否构成侵权。如果大儿子确实殴打了母亲并造成了损害，那么母亲要求大儿子支付医疗费用是合法的；反之，则不合法。
分析：
侵权行为的认定：
- 在法律上，侵权行为是指行为人因过错侵害他人民事权益造成损害，应当承担侵权责任的行为。
- 如果大儿子确实对母亲实施了殴打行为，并且这一行为导致了母亲的身体受伤或健康受损，那么大儿子的行为就构成了侵权。
侵权责任的承担：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。
- 因此，如果大儿子的殴打行为构成了侵权，并且造成了母亲的身体损害，那么母亲有权要求大儿子支付因治疗而产生的医疗费用。
证据的重要性：
- 在此类纠纷中，证据是至关重要的。母亲需要提供足够的证据来证明大儿子确实实施了殴打行为，并且这一行为与她的身体损害之间存在因果关系。
- 证据可以包括医疗记录、证人证言、监控录像等。如果母亲无法提供足够的证据来支持她的主张，那么她的要求可能会被法院驳回。
家庭关系的考量：
- 虽然法律上规定了侵权责任的承担，但在处理家庭内部的纠纷时，还需要考虑到家庭关系的和谐与稳定。
- 如果可能的话，建议双方通过协商、调解等方式来解决纠纷，以避免对家庭关系造成进一步的损害。
建议：
- 如果母亲确实被大儿子殴打并造成了身体损害，她应该首先收集并保存好相关证据，如医疗记录、证人证言等。
- 然后，她可以尝试与大儿子进行协商，要求他支付医疗费用。如果协商无果，她可以考虑向法院提起诉讼，要求大儿子承担侵权责任。
- 在整个过程中，母亲也可以寻求法律援助或咨询专业律师的意见，以确保她的权益得到充分保护。
后续行动：
- 如果母亲决定采取法律行动，她应该尽快咨询专业律师，了解具体的法律程序和要求。
- 律师将能够为她提供更详细的法律建议，并帮助她准备必要的法律文件和证据。
如有任何进一步的问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。