结论：在您起诉对方欠钱不还，而对方在诉讼过程中把钱还了的情况下，撤诉应由您这一方提出。

详细解释与法律依据：

1. 撤诉的主体：

   • 在民事诉讼中，撤诉是原告的一项权利。当原告认为继续诉讼已无必要或已达到诉讼目的时，可以向法院提出撤诉申请。
   • 在您的情况下，由于您是起诉方（原告），且对方已经履行了还款义务，因此撤诉应由您提出。

2. 撤诉的流程：

   • 您需要向受理案件的法院提交书面的撤诉申请，说明撤诉的理由和意愿。
   • 法院在收到撤诉申请后，会进行审查，确认撤诉是否出于您的真实意愿，以及是否符合法律规定。
   • 如果法院认为撤诉申请符合法律规定，且不会损害国家、集体或第三人的利益，通常会裁定准予撤诉。

3. 撤诉的法律后果：

   • 一旦法院裁定准予撤诉，诉讼程序即告终结，您将不再享有继续诉讼的权利。
   • 撤诉后，如果对方再次出现违约行为，您需要重新提起诉讼来维护自己的权益。
   • 撤诉通常不会对您产生不利的法律后果，但可能会涉及一些诉讼费用的退还问题，具体根据法院的规定和实际情况处理。

4. 特殊情况下的考虑：

   • 如果对方虽然表示愿意还款，但实际上并未完全履行还款义务，或者存在其他违约行为，您有权拒绝撤诉，并继续要求法院进行审理和判决。
   • 在某些情况下，即使对方已经还款，但如果您认为撤诉可能会损害您的其他合法权益（如要求对方承担诉讼费用、违约金等），您也可以选择不撤诉，而是继续通过诉讼来维护自己的权益。

建议：

• 在决定是否撤诉前，建议您仔细考虑对方的还款情况、您的诉讼目的以及撤诉可能带来的法律后果。
• 如果您决定撤诉，建议尽快向法院提交撤诉申请，并按照法院的要求办理相关手续。
• 如果您对撤诉有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律意见。