认罪认罚制度主要由公安机关、人民检察院和人民法院三个部门负责，它们在刑事诉讼的不同阶段分别承担不同的职责。以下是对这一问题的详细解答：
公安机关：
- 在侦查阶段，公安机关负责收集证据、查明犯罪事实。当犯罪嫌疑人自愿如实供述自己的罪行，承认指控的犯罪事实，并愿意接受处罚时，公安机关应当记录在案，并随案移送至人民检察院。同时，公安机关在起诉意见书中也会明确写明犯罪嫌疑人认罪认罚的情况。
人民检察院：
- 在审查起诉阶段，人民检察院承担着更为重要的角色。它不仅要告知犯罪嫌疑人认罪认罚的法律后果及其诉讼权利，还要听取犯罪嫌疑人、辩护人、值班律师以及被害人等的意见，并记录在案。
- 人民检察院会根据犯罪嫌疑人的认罪认罚情况，提出量刑建议，包括主刑、附加刑以及是否适用缓刑等，并将认罪认罚具结书随案移送至人民法院。
人民法院：
- 在审判阶段，人民法院负责审查认罪认罚的自愿性和具结书的真实性、合法性。
- 在无法定例外情况（如犯罪嫌疑人不构成犯罪、不应追究刑事责任、违背意愿认罪认罚、否认指控犯罪事实或其他影响公正审判的情形）下，人民法院通常会采纳人民检察院提出的罪名和量刑建议，并作出相应的判决。
认罪认罚与后续刑罚执行的关系：
- 认罪认罚主要体现的是犯罪嫌疑人在刑事诉讼过程中的悔罪态度，它并不直接决定后续的刑罚执行，如减刑等。
- 然而，认罪认罚作为悔罪态度的一种表现，可能会在后续的刑罚执行过程中被考虑为一个积极因素。例如，在罪犯申请减刑时，其认罪认罚的态度可能会被作为评估其悔改表现的一个方面。
特殊情况说明：
- 如果犯罪嫌疑人在认罪认罚后反悔或拒绝签署认罪认罚具结书，那么人民检察院将不再适用认罪认罚从宽制度，并可能调整量刑建议。
- 在审判阶段，如果人民法院发现认罪认罚并非自愿或具结书存在不真实、不合法的情况，那么它也有权不采纳人民检察院的量刑建议。
建议：
- 对于涉及认罪认罚的刑事案件，犯罪嫌疑人及其家属应当充分了解认罪认罚的法律后果和诉讼权利，并在律师的指导下谨慎作出决定。
- 如果您或您的家人面临刑事案件并涉及认罪认罚的问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。