离职证明是一份非常重要的文件，它主要能证明以下几个方面：

首先，离职证明是用人单位与劳动者已经解除劳动关系的凭证。这意味着，一旦你获得了离职证明，就表明你与前雇主之间的劳动合同关系已经正式终止，双方不再存在雇佣与被雇佣的关系。

其次，离职证明还能证明你是按照正常手续办理离职的。这通常包括了你提交了离职申请、完成了工作交接、结清了工资和福利等所有离职流程。这样的证明对于你未来求职或办理相关手续时，能够展示你的职业素养和合规意识。

再者，离职证明也是你作为自由人的证明。有了这份证明，你可以自由地申请失业金（如果符合条件的话）或者应聘新的职位，而不用担心因为与前雇主的劳动关系未解除而带来的法律风险。

此外，离职证明还是你转人事关系、社保、公积金等的重要依据。在离职后，你需要将人事关系、社保、公积金等从原单位转移到新单位或者个人账户上，而离职证明就是办理这些转移手续时必不可少的文件之一。

至于为什么入职新公司时需要提交离职证明，这主要是新公司为了避免潜在的纠纷和损失。根据相关法律规定，如果新公司招用了尚未解除劳动合同的劳动者，并对原用人单位造成了经济损失，那么新公司是需要承担连带赔偿责任的。因此，新公司通常会要求你提供离职证明，以确保你与前雇主的劳动关系已经正式解除，从而避免不必要的法律风险。

如果原公司不愿意开具离职证明，你可以通过劳动仲裁部门提出申诉，要求公司出具。同时，在入职新公司时，你也可以向新公司解释清楚情况，并提供其他相关证明材料及承诺函，以证明你的离职状态和合规性。如果新公司接受这样的处置方式，并与你签订了劳动合同，那么它就不能再以你没有上家公司的离职证明为由随意开除你了。