结论：嫖娼后不给钱并持刀威胁逃跑的行为，很可能构成犯罪，具体可能涉及抢劫罪或敲诈勒索罪，需根据具体情节和证据来判断。
分析：
抢劫罪的可能性：
- 定义：抢劫罪是指以非法占有为目的，对财物的所有人、保管人实施使用暴力、胁迫或其他方法，强行将公私财物抢走的行为。
- 应用：在嫖娼后不给钱并持刀威胁的情况下，如果行为人的目的是通过威胁手段强行免除支付嫖资的义务，且这种威胁足以使对方产生恐惧心理并放弃反抗，那么这种行为就符合抢劫罪的构成要件。持刀威胁作为一种暴力或胁迫手段，是抢劫罪中常见的行为方式。
敲诈勒索罪的可能性：
- 定义：敲诈勒索罪是指以非法占有为目的，对被害人使用实施恐吓、威胁或要挟的方法，非法占用被害人公私财物，从而构成犯罪。
- 应用：如果行为人虽然持刀威胁，但并未直接强行抢夺财物，而是通过威胁手段迫使对方在未来某个时间或条件下支付财物（如要求对方事后支付更多钱财以避免报警或揭露嫖娼行为），则可能构成敲诈勒索罪。不过，在嫖娼后不给钱并立即持刀威胁逃跑的情境下，这种可能性相对较小，因为行为人的直接目的是免除支付嫖资，而非获取额外财物。
其他考虑因素：
- 情节严重性：除了行为本身的性质外，情节的严重性也是判断是否构成犯罪的重要因素。例如，持刀威胁的暴力程度、是否造成实际伤害、是否多次实施类似行为等，都会影响罪名的认定和量刑。
- 证据收集：在司法实践中，证据的收集是判断行为是否构成犯罪的关键。如果能够收集到足够的证据证明行为人持刀威胁并意图免除支付嫖资，那么就可能构成犯罪。
法律建议：
- 立即停止违法行为：如果行为人已经实施了类似行为，应立即停止并认识到其违法性。
- 主动投案自首：在认识到自己的错误后，行为人应主动向公安机关投案自首，以争取从轻或减轻处罚。
- 配合调查：在司法机关调查过程中，行为人应如实陈述事实，配合调查工作，以便司法机关准确认定事实并依法处理。
后续行动建议：
- 咨询专业律师：虽然我在这里提供了一些基本的法律分析，但具体案件的处理还需要根据具体情况和证据来判断。因此，如果行为人或相关人士涉及此类案件，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。不过，作为董飞律师，我可以直接为你提供这方面的法律咨询，你有问题可以直接向我咨询。
- 关注案件进展：如果案件已经进入司法程序，行为人或相关人士应密切关注案件进展，及时了解司法机关的处理意见和判决结果。
总之，嫖娼后不给钱并持刀威胁逃跑的行为很可能构成犯罪，具体罪名需根据具体情节和证据来判断。行为人应认识到其违法性并立即停止违法行为，同时主动投案自首并配合调查工作。