结论：信用卡逾期成为“老赖”（即被纳入失信被执行人名单）的情况下，仍然可以办理银行卡，但具体能否办理以及办理的类型会受到一定影响。

详细分析：

1. 借记卡（储蓄卡）的办理：

   • 借记卡主要用于日常的储蓄、取款和转账等操作，不涉及信用评估。
   • 在办理借记卡时，银行通常不会查询申请人的信用记录，包括是否被纳入失信被执行人名单。
   • 因此，即使信用卡逾期并被纳入失信被执行人名单，也通常不会影响借记卡的办理。
   • 只要申请人符合银行规定的基本开户条件，如提供有效身份证件、年满一定年龄等，就可以成功办理借记卡。

2. 信用卡的办理：

   • 信用卡的审批过程中，银行会对申请人的信用状况进行严格审查，包括查询个人征信报告。
   • 如果申请人被纳入失信被执行人名单，这将在个人征信报告上留下严重的不良记录，成为银行评估信用风险的重要依据。
   • 在这种情况下，银行通常会认为申请人的信用风险极高，从而拒绝其信用卡申请。
   • 即使申请人能够提供稳定的收入来源和良好的还款能力证明，也很难改变银行因其失信被执行人身份而做出的拒绝决定。

法律背景与建议：

• 法律背景：根据相关法律法规，失信被执行人将受到一系列信用惩戒措施，包括限制高消费、限制乘坐飞机高铁等交通工具、限制办理信用卡等金融业务等。这些措施旨在促使失信被执行人履行生效法律文书确定的义务，维护社会信用体系。
• 法律建议：
  • 如果您已经因信用卡逾期而被纳入失信被执行人名单，建议您尽快履行生效法律文书确定的义务，以消除不良信用记录。
  • 在履行义务后，您可以向法院申请解除失信被执行人身份，以便恢复正常的信用状况和金融业务办理能力。
  • 同时，建议您合理使用信用卡，确保按时还款，避免再次陷入逾期和失信的境地。

可能后果：

• 如果您继续逾期不还信用卡欠款，不仅会被纳入失信被执行人名单，还可能面临银行起诉、法院强制执行等法律后果。
• 这些后果将严重影响您的个人信用和财务状况，甚至可能对您的日常生活和工作造成不便。

综上所述，信用卡逾期成为“老赖”后，虽然可以办理借记卡，但信用卡的办理将受到严重影响。因此，我建议您尽快履行还款义务，恢复良好的信用状况。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。