核心结论：赌博立案后，投案人（即主动向公安机关投案的赌博参与者或组织者）的处理方式主要取决于其投案的主动性、在案件中的角色以及具体情节。以下是具体分析：

1. 自首情节的认定与量刑影响
   根据《刑法》第六十七条，犯罪嫌疑人主动投案并如实供述罪行的，构成自首，可依法从轻或减轻处罚；犯罪较轻的，甚至可能免除处罚。

   • 关键点：投案需主动（如直接到公安机关投案，而非被传唤或抓获），且必须如实交代全部犯罪事实。若仅部分交代或隐瞒关键情节，可能不构成自首。
     
   • 量刑示例：若赌博罪法定刑为三年以下有期徒刑，自首者可能被判处缓刑或更轻刑罚；若情节轻微（如偶尔参与、赌资较小），甚至可能不起诉或免予刑事处罚。

2. 投案人在案件中的角色差异

   • 普通参与者：若仅以营利为目的参与赌博，未组织或招揽他人，投案后可能面临行政处罚（如拘留、罚款）或刑事处罚（如赌博罪）。自首可显著减轻处罚，甚至争取缓刑。
     
   • 组织者或聚众赌博者：若构成“开设赌场罪”或“聚众赌博罪”（赌资较大、参与人数多等），投案后仍可能面临较重刑罚（如三年以下有期徒刑、拘役或管制）。但自首仍是从宽情节，可争取从轻处罚。
     
   • 以赌博为业者：若长期以赌博为生，投案后可能被认定为“职业赌博”，刑罚相对较重，但自首仍可争取一定程度的量刑优惠。

3. 投案后的法律程序与配合义务

   • 配合调查：投案后需如实供述赌博时间、地点、参与人员、赌资规模等关键信息，协助公安机关固定证据。若拒不配合或翻供，可能丧失自首情节认定。
     
   • 退赃退赔：主动退还非法所得（如赌资、抽头渔利等），可进一步体现悔罪态度，增加从宽处罚的可能性。
     
   • 取保候审或监视居住：若符合条件（如病情严重、怀孕等），可申请非羁押性强制措施，但需遵守相关规定（如不得离开居住地、随传随到等）。

4. 特殊情形下的处理

   • 未成年人或老年人投案：根据《刑法》第十七条、第四十九条，未成年人或已满七十五周岁的人投案，可从轻或减轻处罚；已满七十五周岁的人甚至可能免除死刑（若涉及更严重犯罪）。
     
   • 共同犯罪中的投案：若多人共同参与赌博，部分人投案并揭发他人罪行，可能构成“立功”，进一步减轻处罚。但需注意，立功需以揭发他人重大犯罪为前提，普通参与情节一般不构成立功。

温馨提示：赌博行为不仅可能触犯刑法，还可能引发家庭破裂、债务危机等社会问题。若您或身边的人涉及此类情况，建议尽早投案并配合调查，同时咨询专业律师以制定最优辩护策略。如有具体案件细节需要分析，可直接向我提问，我会结合实际情况为您提供更精准的建议。