核心结论：面对交通事故肇事者以“全由保险公司负责”为由不管的情况，您可以通过以下途径维护自身权益：

1. 明确肇事者与保险公司的责任边界
   根据《道路交通安全法》第76条，交通事故损害赔偿首先由保险公司在交强险责任限额内赔偿，不足部分由商业三者险补充，仍有不足的由肇事者个人承担。肇事者“不管”的行为可能涉及逃避法定义务，即使保险公司已介入，您仍有权要求肇事者配合处理（如提供保险信息、协助定损等）。若其拒不配合，可向交警部门申请调解或直接起诉。

2. 向保险公司施压并核实理赔情况

   • 要求保险公司出具书面理赔方案，明确赔偿项目、金额及依据。若保险公司未及时理赔或赔偿不足，可依据《保险法》第23条向银保监会投诉（12378热线），或直接起诉保险公司。
     
   • 注意：若肇事者未购买商业三者险或保额不足，保险公司仅在保额内赔偿，超出部分仍需肇事者承担。此时需重点向肇事者追责。

3. 通过法律程序直接追责肇事者

   • 调解阶段：向交警部门申请调解，要求肇事者签署赔偿协议并明确履行期限。若肇事者拒不履行，可凭调解协议向法院申请支付令（《民事诉讼法》第221条）。
     
   • 诉讼阶段：直接起诉肇事者及保险公司，要求赔偿医疗费、误工费、残疾赔偿金等损失。法院会根据事故责任认定书、保险合同等证据判决责任方履行赔偿义务。即使保险公司已赔付，若赔偿不足，您仍有权要求肇事者补足差额。

4. 防范肇事者转移财产
   若担心肇事者转移财产逃避赔偿，可在起诉前申请法院财产保全（《民事诉讼法》第103条），冻结其银行账户、车辆等财产，确保判决后能顺利执行。

行动建议：

1. 立即收集证据（事故认定书、医疗记录、费用单据等）；
   
2. 联系肇事者要求配合处理，并保留沟通记录（录音、短信等）；
   
3. 若协商无果，尽快委托律师介入，通过法律途径解决。
   

温馨提示：交通事故赔偿涉及交强险、商业险、侵权责任等多重法律关系，建议根据具体案情制定策略。如有疑问，可直接向我咨询，我会结合您的证据材料提供详细方案。