结论：在产品虚假宣传的情况下，赔偿通常是由公司（即经营者）来承担的。消费者有权依据相关法律法规要求公司进行赔偿。
一、赔偿依据与标准
三倍赔偿：
- 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》第五十五条，若经营者提供商品或服务存在欺诈行为，消费者有权要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用的三倍。例如，若消费者购买了一款虚假宣传的保健品，支付了1000元，除要求退货退款外，还可要求商家额外赔偿3000元。
最低赔偿额：
- 若增加赔偿的金额不足五百元，则按照五百元进行赔偿。这是为了保障消费者的基本权益，防止因赔偿金额过低而无法有效维护自身权益。
人身伤害赔偿：
- 若虚假宣传导致消费者人身伤害，如使用虚假宣传的化妆品导致过敏或更严重的健康问题，经营者需赔偿医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾或死亡的，还需赔偿残疾生活辅助具费、残疾赔偿金、丧葬费和死亡赔偿金等。
二、赔偿流程
确认虚假宣传：
- 消费者需收集证据，证明商家存在虚假宣传行为。这包括广告宣传资料、聊天记录、交易凭证等，这些证据将作为维权的重要依据。
协商赔偿：
- 消费者可以首先尝试与商家协商，提出赔偿要求。在协商过程中，消费者可以明确自己的诉求，并尝试与商家达成赔偿协议。
投诉与申诉：
- 若协商无果，消费者可以向消费者协会或市场监督管理部门投诉，请求协助处理。这些机构将调查并可能协助进一步协商，或直接对商家进行行政处罚，如责令停止违法行为、罚款等。
法律诉讼：
- 若上述途径均无效，消费者有权向法院提起诉讼，要求商家按法律规定赔偿。在诉讼过程中，消费者需要提供充分的证据来支持自己的诉求，并可能获得法院的判决支持。
三、特殊情况下的赔偿
食品、药品特殊规定：
- 对于不符合食品安全标准的食品，消费者除要求赔偿损失外，还可向生产者或经营者要求支付价款十倍或损失三倍的赔偿金；增加赔偿的金额不足一千元的，为一千元。这是针对食品、药品等特殊商品的额外保障措施。
精神损害赔偿：
- 在某些特殊情况下，如果虚假宣传给消费者带来了严重的精神痛苦，如因虚假宣传导致消费者长期焦虑、抑郁等，消费者有权要求经营者赔偿精神损失。具体标准和数额需根据案件情况及司法实践确定。
四、注意事项
保留证据：
- 在索赔过程中，务必保留好所有相关证据。这是维权的关键，也是后续协商、投诉、申诉或法律诉讼的重要依据。
合理维权：
- 消费者应保持理性，合理提出赔偿要求。避免过度或不当维权行为，如恶意投诉、诽谤等，这些行为可能构成违法或侵权。
及时行动：
- 一旦发现商家存在虚假宣传行为，消费者应及时采取行动维护自己的权益。不要拖延时间，以免错过最佳的维权时机。
作为项晗博律师，我建议你在遇到产品虚假宣传的情况时，首先收集好相关证据，然后尝试与商家协商赔偿。若协商无果，可以向消费者协会或市场监督管理部门投诉，或直接向法院提起诉讼。如果你有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。