结论先行：您有权要求典当行承担车辆受损的赔偿责任，但需通过合法途径固定证据并主张权利。以下是具体分析：
一、合同缺失不影响质押法律关系成立
根据《民法典》第四百二十七条，质押合同自成立时生效，未签订书面合同不影响质押权设立。但您需通过其他证据证明质押关系存在，例如：
- 交付凭证：车辆钥匙、行驶证等物品的移交记录；
- 付款记录：典当行支付的当金转账凭证；
- 沟通记录：与典当行工作人员的微信、短信或录音，确认质押事实；
- 证人证言：陪同办理质押的亲友或第三方见证人。
建议：立即整理所有能证明质押关系的证据，避免因时间推移导致证据灭失。
二、典当行对质押车辆的保管义务
根据《民法典》第四百三十二条，典当行作为质权人负有妥善保管质押财产的义务。若车辆受损系因典当行未尽到以下义务导致，您可要求其赔偿：
- 合理保管：将车辆停放于安全场所，避免暴晒、雨淋或人为破坏；
- 禁止使用：未经您同意，典当行不得使用或出借车辆；
- 及时通知：发现车辆受损后，应立即通知您并共同处理。
例外情形：若车辆受损系因不可抗力（如自然灾害）或您自身过错（如隐瞒车辆故障）导致，典当行可能免责。
三、维权步骤与证据固定
现场取证：
- 对车辆受损部位拍照、录像，记录损坏程度；
- 要求典当行出具书面说明，确认车辆受损时间、原因及现状；
- 调取典当行监控录像（如有），固定保管过程中的过错证据。
协商解决：
- 向典当行提出书面赔偿请求，明确赔偿金额及依据；
- 保留协商过程的沟通记录（如邮件、短信），作为后续诉讼证据。
诉讼途径：
- 若协商无果，可向法院提起民事诉讼，主张典当行承担侵权责任；
- 诉讼中需提供质押关系证据、车辆受损证据及损失评估报告（如维修费用清单）。
提示：若车辆价值较高，建议委托专业机构对损失进行评估，以增强赔偿请求的合理性。
四、预防性建议
- 补签合同：即使质押关系已成立，仍可要求典当行补签书面合同，明确双方权利义务；
- 购买保险：质押期间可与典当行协商为车辆投保，降低意外损失风险；
- 定期检查：在质押期间，您有权要求查看车辆保管状况，确保典当行履行义务。
最后提醒：法律程序具有时效性，建议您尽快行动，避免因拖延导致权利丧失。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作细节。