非法滞留拘留审查的最长期限一般为37天。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据与拘留期限
根据我国相关法律规定，对于非法滞留等涉嫌刑事犯罪的行为，公安机关有权进行刑事拘留。在拘留后，若公安机关认为需要逮捕犯罪嫌疑人，应当在拘留后的3日内提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，这一提请审查批准的时间可以延长1日至4日。而对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至30日。人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的7日内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。
二、拘留期限的计算
普通情况：在一般情况下，公安机关的拘留期限不超过14天。这包括拘留后的3日提请审查批准期，以及可能的1-4日延长审查批准期，再加上人民检察院的7日审查决定期。但需要注意的是，这里的14天并非绝对，因为在实际操作中，若人民检察院在7日内未作出决定，或者公安机关在延长审查批准期内提请，则拘留期限可能会相应延长。不过，在大多数普通案件中，拘留期限通常不会超过14天。
特殊情况：对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，拘留期限可以延长至37天。这包括拘留后的30日提请审查批准期（对于重大嫌疑分子），以及人民检察院的7日审查决定期。在这种情况下，拘留期限达到最长，为37天。
三、实际案例与法律建议
在实际操作中，非法滞留等涉嫌刑事犯罪的行为往往涉及复杂的案情和证据收集工作。因此，公安机关在拘留犯罪嫌疑人后，会进行详细的调查和取证工作，以确定是否需要提请逮捕。对于被拘留的犯罪嫌疑人及其家属来说，了解拘留期限的相关规定非常重要。如果认为拘留期限过长或存在其他违法行为，可以及时向公安机关或人民检察院提出申诉或控告。
建议：如果您或您身边的人遇到非法滞留等涉嫌刑事犯罪的情况，并因此被拘留，请务必保持冷静，及时了解拘留期限的相关规定，并在必要时寻求专业律师的帮助。作为专业律师，我能够为您提供有专业深度的解释和全面的法律建议，帮助您更好地应对此类法律问题。