公司把客户的个人敏感信息委托第三方处理时，主要需要遵循以下法律依据：

1. 《中华人民共和国个人信息保护法》：

   • 核心条款：该法第二十一条明确规定，个人信息处理者委托处理个人信息的，应当与受托人约定委托处理的目的、期限、处理方式、个人信息的种类、保护措施以及双方的权利和义务等，并对受托人的个人信息处理活动进行监督。受托人应当按照约定处理个人信息，不得超出约定的处理目的、处理方式等处理个人信息；委托合同不生效、无效、被撤销或者终止的，受托人应当将个人信息返还个人信息处理者或者予以删除，不得保留。
   • 法律意义：这一条款为公司在委托第三方处理客户个人敏感信息时提供了明确的法律指引，要求公司必须与受托方签订详细的委托处理协议，并确保受托方按照协议约定处理信息，同时公司需对受托方的处理活动进行监督。

2. 《中华人民共和国网络安全法》：

   • 核心条款：虽然该法未直接针对个人信息委托处理作出具体规定，但其强调了网络运营者（包括公司）对用户个人信息的保护责任，要求网络运营者采取技术措施和其他必要措施，确保其收集的个人信息安全，防止信息泄露、毁损、丢失。
   • 法律意义：公司在委托第三方处理客户个人敏感信息时，仍需遵守网络安全法的一般性规定，确保采取足够的安全措施保护信息不被泄露或滥用。

3. 《中华人民共和国数据安全法》：

   • 核心条款：该法第三十一条规定，重要数据的处理者应当按照规定对其数据处理活动定期开展风险评估，并向有关主管部门报送风险评估报告。虽然此条款主要针对重要数据，但个人敏感信息往往也属于重要数据的范畴，因此公司在处理时也应考虑相关风险评估和报告要求。
   • 法律意义：公司在委托第三方处理客户个人敏感信息时，应评估数据处理活动的风险，并可能需要根据数据安全法的规定进行风险评估和报告。

法律建议与注意事项：

• 签订详细协议：公司应与受托方签订详细的个人信息处理协议，明确双方的权利和义务，包括处理目的、期限、方式、信息种类、保护措施等。
• 监督受托方活动：公司应对受托方的个人信息处理活动进行监督，确保受托方按照协议约定处理信息，并采取必要的安全措施。
• 风险评估与报告：如果客户个人敏感信息属于重要数据范畴，公司应考虑进行数据处理活动的风险评估，并根据需要向有关主管部门报送风险评估报告。
• 合规培训与意识提升：公司应对员工进行合规培训，提升他们对个人信息保护和数据安全的意识，确保在处理客户个人敏感信息时遵守相关法律法规。

可能面临的法律后果：

如果公司未遵守上述法律法规，将可能面临行政处罚、民事赔偿甚至刑事责任。例如，根据个人信息保护法的规定，违反规定处理个人信息的，可能面临罚款、责令改正、没收违法所得等行政处罚；情节严重的，还可能构成犯罪，依法追究刑事责任。

因此，公司在委托第三方处理客户个人敏感信息时，务必严格遵守相关法律法规，确保信息处理的合法性和安全性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。