针对您提出的“房租到期房东不签合同怎么办”的问题，这确实是一个需要细致处理的情况。首先，我们要明确的是，即使房租到期，如果双方有意继续租赁关系，签订新的租赁合同是非常重要的，它能明确双方的权利和义务，为后续的租赁关系提供法律保障。以下是我为您详细梳理的应对步骤：

一、友好沟通，明确需求

1. 主动联系房东：首先，您应该主动与房东取得联系，表达您希望继续租赁并签订新合同的意愿。
2. 强调合同的重要性：向房东解释签订书面合同对于双方权益保护的重要性，包括租金金额、支付方式、租赁期限、维修责任等关键条款的明确。
3. 了解房东的顾虑：询问房东不愿签订合同的具体原因，尝试解决其可能的顾虑或担忧，以促进合同的签订。

二、书面催告，保留证据

1. 发送书面催告：如果口头沟通无果，您可以通过短信、微信或正式书面函件的方式，向房东再次提出签订合同的要求。
2. 明确期限与要求：在书面内容中，清晰说明租赁的相关信息，并设定一个合理的期限，要求房东在该期限内与您签订合同。
3. 保留催告记录：确保保留好这些书面催告的记录，包括发送时间、内容以及房东的回复（如果有的话），以备后续作为证据使用。

三、寻求第三方调解

1. 联系调解机构：如果房东依旧拒绝签订合同，您可以寻求房地产中介协会、消费者协会或社区调解中心等第三方机构的帮助。
2. 详细说明情况：向这些机构详细说明事情的经过和您的诉求，请求他们介入调解，促使房东与您签订合同。

四、法律咨询与准备

1. 咨询专业律师：如果上述方式均无法解决问题，且您认为自身权益受到损害，建议咨询专业律师。律师将根据您的具体情况，分析房东的行为是否违反相关法律法规，并提供相应的法律建议。
2. 准备法律文件：在律师的指导下，准备必要的法律文件，如租赁记录、支付凭证、沟通记录等，以支持您的主张。

五、考虑其他选择

1. 寻找其他房源：如果房东持续不配合签订合同，且您认为继续租赁的风险较大，可以考虑寻找其他房源。
2. 确保权益不受损：在寻找新房源的过程中，确保与新房东签订正式的租赁合同，并明确各项条款，以保障自己的权益。

六、了解当地法律法规

1. 熟悉租赁法规：了解并熟悉您所在地区的租赁法律法规，特别是关于租赁合同的要求和规定。这将有助于您更好地了解自己的权益和义务，以及在面对类似问题时应如何应对。

总之，面对房东在房租到期后不愿签订合同的情况，您应保持冷静并采取积极的措施来维护自身权益。通过友好沟通、书面催告、第三方调解、法律咨询及了解法律法规等方式，您可以有效地应对这一问题并确保租房过程的顺利与合法。同时，注重证据的收集和保留，为可能的法律纠纷做好准备。希望这些建议能对您有所帮助。