核心结论：银行贷款经法院调解后到期未还，且十年未被强制执行，可能面临诉讼时效届满、执行程序启动障碍等问题，但具体处理需结合调解书履行情况、诉讼时效中断事由及银行是否主张权利等因素综合判断。以下分情况说明：
1. 诉讼时效是否已届满？
- 一般规则：根据《民法典》第188条，向法院请求保护民事权利的诉讼时效为3年，自权利人知道或应当知道权利受损之日起计算。若调解书确定还款期限，诉讼时效自期限届满次日起算。
- 十年未主张的后果：若银行在十年内未通过起诉、申请强制执行等方式主张权利，且无诉讼时效中断、中止事由（如债务人同意履行、部分履行等），则诉讼时效可能已届满。此时，债务人可提出诉讼时效抗辩，法院将不再支持银行的强制执行请求。
- 例外情形：若银行在十年内曾向债务人催款、债务人承诺还款或部分履行，可能构成诉讼时效中断，时效重新计算。需结合具体证据判断。
2. 调解书是否仍具有强制执行力？
- 执行时效问题：根据《民事诉讼法》第246条，申请执行的期间为2年，自调解书确定的履行期间最后一日起计算。若银行未在2年内申请强制执行，且无中止、中断事由，则执行时效届满，法院将不再受理执行申请。
- 执行时效届满的后果：执行时效届满后，银行丧失通过法院强制执行的权利，但调解书本身的债权债务关系仍存在。银行可通过协商、催告等方式要求债务人自愿履行，但无法通过司法程序强制执行。
3. 债务人是否仍需履行还款义务？
- 实体权利义务未消灭：诉讼时效或执行时效届满，仅导致银行丧失通过司法程序主张权利的权利，但债务人的还款义务本身并未消灭。若债务人自愿履行，不得以时效届满为由反悔。
- 道德与法律风险：从法律角度，债务人可拒绝履行；但从道德或信用角度，长期拖欠可能影响个人征信或商业信誉。建议债务人根据自身情况权衡利弊。
4. 银行可能采取的后续措施
- 重新主张权利：若银行能证明诉讼时效中断（如催款记录、债务人承诺等），可能重新获得司法保护。
- 协商和解：双方可协商达成新的还款协议，明确还款计划及违约责任，避免进一步纠纷。
- 放弃权利：银行可能因时效问题或成本考虑，选择放弃部分或全部债权。
行动建议
债务人：
- 核查调解书内容及还款期限，确认诉讼时效和执行时效是否已届满。
- 若时效已届满，可与银行协商还款方案，或要求银行出具书面放弃债权声明。
- 若时效未届满或存在中断事由，建议尽快履行还款义务，避免强制执行风险。
银行：
- 收集诉讼时效中断证据（如催款通知、债务人承诺等），尝试重新启动执行程序。
- 若时效确已届满，可与债务人协商和解，或通过其他合法途径主张权利（如抵押物处置等）。
提示：法律问题具有高度个体性，具体处理需结合调解书内容、证据材料及当地司法实践。如有进一步疑问，可直接向我咨询，我将结合具体情况提供详细解答。