合法烧烤店油烟乱排的问题，主要由生态环境部门负责监管，同时城市管理部门、市场监督管理部门等也可能根据具体情况参与管理。以下是对此问题的详细分析：

1. 生态环境部门：

   • 核心职责：依据《中华人民共和国大气污染防治法》，生态环境部门是餐饮油烟污染治理的主要责任主体。该法律明确规定，排放油烟的餐饮服务业经营者应当安装油烟净化设施并保持正常使用，或者采取其他油烟净化措施，使油烟达标排放，并防止对附近居民的正常生活环境造成污染。
   • 监管范围：生态环境部门会重点检查烧烤店是否安装高效油烟净化设备、设备是否正常运行、油烟排放浓度是否符合国家标准（如《饮食业油烟排放标准》GB 18483-2001）。
   • 执法手段：对于未安装或不正常使用净化设备的烧烤店，生态环境部门有权责令整改并处罚款；情节严重的，甚至可以责令停业整治。

2. 城市管理部门：

   • 管理范围：城市管理部门主要负责城市管理和市容环境秩序，包括烧烤店铺的店外经营秩序。
   • 具体职责：如果烧烤店存在违规将排烟设备设置在店外、影响市容环境或占用公共空间等情况，城市管理部门有权进行监管和处理。
   • 协同作用：在某些地区，城市管理部门也可能作为餐饮油烟污染的监管主体之一，与生态环境部门共同参与具体的监管工作。

3. 市场监督管理部门：

   • 管理重点：市场监督管理部门侧重于从经营资质和食品安全的角度进行管理。
   • 排烟问题关联：虽然不直接针对排烟问题，但如果排烟问题严重影响食品经营环境的卫生状况，可能会影响到烧烤店的食品经营许可等相关资质。
   • 消费者投诉处理：若消费者因排烟问题投诉，市场监督管理部门也会介入协调处理。

针对烧烤店油烟乱排问题的建议：

• 烧烤店经营者：应增强环保意识，确保油烟排放符合相关法规标准。具体来说，应安装经认证的油烟净化器并定期清洗（建议每季度至少一次），建立设备运行台账备查，并避免在午间、夜间等敏感时段进行产生大量油烟的作业。
• 居民：如发现烧烤店油烟扰民，可通过“12369”环保热线、“12345”政务服务便民热线等渠道进行投诉和举报。
• 各部门协作：由于烧烤店油烟乱排问题可能涉及多个部门的管理，建议各部门之间加强协作与沟通，共同推动问题的解决。

综上所述，合法烧烤店油烟乱排的问题涉及多个管理部门的共同监管。各部门应各司其职，共同维护良好的环境和公众健康。如果您在处理此类问题时遇到任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。